Uma pequena fábrica de móveis planeja maximizar seu lucro (Z) com a produção de dois modelos de produtos: cadeiras (X 1) e mesas (X 2). A função objetivo e as restrições de recursos são as seguintes:

Maximizar:|

Z=3 X_{1}+5 X_{2}
Sujeito a :
\text { I. } X_{1}+X_{2} \leq 4 \text { (Tempo de Corte) }
II. 3 X_{1}+2 X_{2} \leq 12 (Tempo de Montagem)
X_{1}, X_{2} \geq 0
A aplicação do Método Simplex para este problema resultou na seguinte solução ótima, apresentada em seu Tableau Final (onde S 1 e S 2 são variáveis de folga):
Base \mathrm{X}_{1} \mathrm{X}_{2} \mathrm{S}_{1} \mathbf{S}_{\mathbf{2}} B (RHS)
Z 2 0 5 0 20
\mathrm{X}_{2} 1 1 1 0 4
\mathrm{S}_{2} 1 0 -2 1 4
A solução ótima é X_{1}=0 e X_{2}=4, com lucro máximo Z=20. A base ótima é ( X_{2}, S_{2} ).
Qual é o intervalo de variação do coeficiente de lucro da cadeira ( X_{1} ), denotado por C_{1}, para que a base ótima atual ( \left\{X_{2}, S_{2}\right\} ) permaneça a mesma, ou seja, para que não seja necessário pivotar a variável X_{1} para a base?
Escolha uma opção:
◯ a. -\infty<C_{1}<5
◯ b. \mathrm{C}_{1} \geq 5
◯ c. \mathrm{C}_{1} \leq 3
◯ d. 0 \leq \mathrm{C}_{1} \leq 5

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá (peguei os números do enunciado e do tableau final):
  • Função objetivo: Z=3 X_{1}+5 X_{2}.
  • Restrições:
\begin{aligned} &X_{1}+X_{2}+S_{1}=4,\\\ &3X_{1}+2X_{2}+S_{2}=12,\\\ &X_{1},X_{2},S_{1},S_{2}\ge 0. \end{aligned}
  • Tableau final fornecido (base ótima é \{X_{2},S_{2}\}) indica que a solução ótima é X_{1}=0,\;X_{2}=4,\;Z=20.
  • A pergunta: determinar o intervalo de variação do coeficiente de lucro da cadeira \,C_{1}\, para que a base ótima atual \{X_{2},S_{2}\} permaneça a mesma — isto é, para que não seja necessário pivotar X_{1} para a base.
Vou mostrar passo a passo como analisar isso com Sensitivity Analysis (análise de sensibilidade) para coeficientes da função objetivo.

Passo 2

Conceito-chave (explicado simples): na análise de sensibilidade para coeficiente objetivo de uma variável não-básica (aqui X_{1} está não-básica, vale zero), devemos olhar o custo reduzido (reduced cost) dessa variável. Definições e fórmula:
  • Seja c_{B} o vetor dos coeficientes da função objetivo das variáveis básicas (aqui c_{B}=[5,0], pois c_{X_{2}}=5 e c_{S_{2}}=0).
  • Seja B a matriz coluna das variáveis básicas (colunas de X_{2} e S_{2} na matriz de restrições).
  • Para qualquer variável j com coluna a_{j}, define-se
z_{j}=c_{B}B^{-1}a_{j}.
  • O custo reduzido é
r_{j}=c_{j}-z_{j},
onde c_{j} é o coeficiente atual da variável j na função objetivo.
  • Condição de otimalidade (problema de maximização): para toda variável não-básica j deve valer
r_{j}\le 0 \quad\text{(se quisermos manter a base ótima atual).}ó
Se r_{j}>0 a variável pode entrar na base e melhorar Z (logo, pivotar será necessário). Se r_{j}=0 há empate (soluções alternativas possíveis); a base atual continua ótima, embora exista possibilidade de trocar base sem melhorar Z.

Passo 3

Montar B e calcular B^{-1}. As colunas das variáveis nas restrições são:
a_{X_{1}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad a_{X_{2}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad a_{S_{1}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad a_{S_{2}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Como a base é \{X_{2},S_{2}\}, temos
B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Calculemos B^{-1}. Como B é triangular inferior, é fácil:
B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
(Confere: B B^{-1}=I.)]

Passo 4

Calcular z_{1}=c_{B}B^{-1}a_{X_{1}}.
Primeiro B^{-1}a_{X_{1}}:
B^{-1}a_{X_{1}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\cdot1+1\cdot3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora c_{B}=[5,\;0], então
z_{1}=c_{B}\big(B^{-1}a_{X_{1}}\big)= [5,\;0]\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=5\cdot1 + 0\cdot1 = 5.]

Passo 5

Custo reduzido de X_{1} é
r_{1}=c_{1}-z_{1}=c_{1}-5.
Pela condição de otimalidade (maximização) para que a base \{X_{2},S_{2}\} permaneça ótima devemos ter
r_{1}\le 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}-5\le 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}\le 5.
Interpretação prática (importante, sem medo):
  • Se c_{1}<5 então r_{1}<0 e X_{1} não entra na base — a base atual continua ótima.
  • Se c_{1}=5 então r_{1}=0: há empate (solução alternativa), a base atual continua ótima (não é obrigatório pivotar, embora seja possível trocar de base sem alterar Z).
  • Se c_{1}>5 então r_{1}>0 e X_{1} ficaria atraente para entrar na base — seria necessária uma pivotação.
Portanto o intervalo de variação que mantém a base ótima é -\infty < c_{1} \le 5.
Das alternativas dadas, a que mais se aproxima é a (a) -\infty < C_{1} < 5. Nota: a alternativa (a) usa desigualdade estrita em 5, enquanto a análise mostra que c_{1}=5 também mantém a base (gera soluções alternativas). Entre as opções fornecidas, a (a) é a que corresponde corretamente à ideia de que não se deve aumentar C_{1} acima de 5.

Resposta

a. -\infty < C_{1} < 5

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