Uma pequena fábrica de móveis planeja maximizar seu lucro
com a produção de dois modelos de produtos: cadeiras
e mesas
. A função objetivo e as restrições de recursos são as seguintes:
Maximizar:|
Sujeito
:
II.
(Tempo de Montagem)
A aplicação do Método Simplex para este problema resultou na seguinte solução ótima, apresentada em seu Tableau Final (onde
e
são variáveis de folga):
Base
B (RHS)
Z
2
0
5
0
20
1
1
1
0
4
1
0
-2
1
4
A solução ótima é
e
, com lucro máximo
. A base ótima é (
).
Qual é o intervalo de variação do coeficiente de lucro da cadeira (
), denotado por
, para que a base ótima atual (
) permaneça a mesma, ou seja, para que não seja necessário pivotar a variável
para a base?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
| Base |
|
|
|
|
B (RHS) |
| Z | 2 | 0 | 5 | 0 | 20 |
|
|
1 | 1 | 1 | 0 | 4 |
|
|
1 | 0 | -2 | 1 | 4 |
Qual é o intervalo de variação do coeficiente de lucro da cadeira (
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá (peguei os números do enunciado e do tableau final):
- Função objetivo:
- Restrições:
- Tableau final fornecido (base ótima é
) indica que a solução ótima é . - A pergunta: determinar o intervalo de variação do coeficiente de lucro da cadeira
para que a base ótima atual permaneça a mesma — isto é, para que não seja necessário pivotar para a base.
Vou mostrar passo a passo como analisar isso com Sensitivity Analysis (análise de sensibilidade) para coeficientes da função objetivo.
Passo 2
Conceito-chave (explicado simples): na análise de sensibilidade para coeficiente objetivo de uma variável não-básica (aqui
está não-básica, vale zero), devemos olhar o custo reduzido (reduced cost) dessa variável. Definições e fórmula:
- Seja
o vetor dos coeficientes da função objetivo das variáveis básicas (aqui , pois e ). - Seja
a matriz coluna das variáveis básicas (colunas de e na matriz de restrições). - Para qualquer variável
com coluna , define-se
- O custo reduzido é
onde
é o coeficiente atual da variável
na função objetivo.
- Condição de otimalidade (problema de maximização): para toda variável não-básica
deve valer
Se
a variável pode entrar na base e melhorar
(logo, pivotar será necessário). Se
há empate (soluções alternativas possíveis); a base atual continua ótima, embora exista possibilidade de trocar base sem melhorar
.
Passo 3
Montar
e calcular
. As colunas das variáveis nas restrições são:
Como a base é
, temos
Calculemos
. Como
é triangular inferior, é fácil:
(Confere:
.)]
Passo 4
Calcular
.
Primeiro
:
Agora
, então
Passo 5
Custo reduzido de
é
Pela condição de otimalidade (maximização) para que a base
permaneça ótima devemos ter
Interpretação prática (importante, sem medo):
- Se
então e não entra na base — a base atual continua ótima. - Se
então : há empate (solução alternativa), a base atual continua ótima (não é obrigatório pivotar, embora seja possível trocar de base sem alterar ). - Se
então e ficaria atraente para entrar na base — seria necessária uma pivotação.
Portanto o intervalo de variação que mantém a base ótima é
.
Das alternativas dadas, a que mais se aproxima é a (a)
. Nota: a alternativa (a) usa desigualdade estrita em
, enquanto a análise mostra que
também mantém a base (gera soluções alternativas). Entre as opções fornecidas, a (a) é a que corresponde corretamente à ideia de que não se deve aumentar
acima de
.
Resposta
a.