Uma pequena malharia produz dois tipos de camisa: de manga curta e manga comprida. Toda a produção é feita e vendida para um distribuidor, que compra tudo o que é produzido. A confecção de cada camisa passa por 3 seções de trabalho: corte, costura e acabamento. A Tabela a seguir mostra os tempos necessários em horas em cada seção:
Produto | Corte | Costura | Acabamento |
---|---|---|---|
Manga curta | 4 | 1,5 | 5 |
Manga comprida | 3 | 3 | 3 |
A quantidade de horas disponíveis em cada seção de trabalho é apresentada na seguinte tabela:
Seção de trabalho | Homens/hora por semana |
---|---|
Corte | 210 |
Costura | 180 |
Acabamento | 330 |
Determine a quantidade de cada tipo de camisa que deve ser fabricada de maneira a maximizar o lucro da empresa sabendo que o lucro unitário proporcionado pela camisa de manga curta é de
e o proporcionado pela camisa de manga comprida é
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo e quais conteúdos vamos usar.
Enunciado em resumo:
• A malharia faz dois tipos de camisa (manga curta e comprida) e tem limites de horas semanais em corte, costura e acabamento.
• Cada camisa de manga curta dá R$ 4,00 de lucro; a de manga comprida dá R$ 3,00.
• Precisamos achar quantas de cada tipo fabricar pra maximizar o lucro.
Enunciado em resumo:
• A malharia faz dois tipos de camisa (manga curta e comprida) e tem limites de horas semanais em corte, costura e acabamento.
• Cada camisa de manga curta dá R$ 4,00 de lucro; a de manga comprida dá R$ 3,00.
• Precisamos achar quantas de cada tipo fabricar pra maximizar o lucro.
Conteúdo envolvido: programação linear (otimização). A gente vai usar:
- Variáveis de decisão (x e y para as quantidades).
- Montar a função objetivo (lucro) e as restrições (horas disponíveis).
- Encontrar os vértices da região viável e ver qual dá maior lucro.
Passo 2
Definindo as variáveis e montando o modelo:
- Seja
= número de camisas de manga curta. - Seja
= número de camisas de manga comprida.
Função objetivo (o que queremos maximizar):
porque cada camisete curta dá R$ 4 e cada comprida R$ 3.
Agora, as restrições de horas:
- Corte:
(horas máximas na seção de corte). - Costura:
. - Acabamento:
. - E não faz sentido ter número negativo de camisas:
Passo 3
Qual é a ideia de “região viável” e por que só checar os vértices?
- Região viável = todas as combinações
que satisfazem as inequações acima. - Teorema do ponto ótimo em P.L. básica: o máximo (ou mínimo) ocorre em algum vértice dessa região poligonal.
Então basta:
- Encontrar os vértices (interseções das retas que definem as restrições).
- Avaliar
em cada vértice. - Escolher o que der maior lucro.
Passo 4
Calcular as interseções das retas (ignoro aquelas que dão pontos negativos):
a) Interseção de
Subtraindo a segunda da primeira:
Aí
dá
Logo ponto
.
b) Interseção de
Subtraindo:
Então
Esse é o ponto
.
c) Também olhamos os “cantos” nos eixos:
-
. - Quando
, restrições dão (a estrita vem da costura). Então . - Quando
, temos (limite do corte). Então .
Passo 5
Avaliar o lucro
em cada ponto:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
:
O maior lucro é em
.
Resposta
Para maximizar o lucro, a malharia deve produzir aproximadamente
x ≈ 42,86 camisas de manga curta
y ≈ 38,57 camisas de manga comprida
Isso gera um lucro máximo de cerca de R$ 287,14.
x ≈ 42,86 camisas de manga curta
y ≈ 38,57 camisas de manga comprida
Isso gera um lucro máximo de cerca de R$ 287,14.