Uma pequena malharia produz dois tipos de camisa: de manga curta e manga comprida. Toda a produção é feita e vendida para um distribuidor, que compra tudo o que é produzido. A confecção de cada camisa passa por 3 seções de trabalho: corte, costura e acabamento. A Tabela a seguir mostra os tempos necessários em horas em cada seção:
Produto Corte Costura Acabamento
Manga curta 4 1,5 5
Manga comprida 3 3 3
A quantidade de horas disponíveis em cada seção de trabalho é apresentada na seguinte tabela:
Seção de trabalho Homens/hora por semana
Corte 210
Costura 180
Acabamento 330
Determine a quantidade de cada tipo de camisa que deve ser fabricada de maneira a maximizar o lucro da empresa sabendo que o lucro unitário proporcionado pela camisa de manga curta é de R e o proporcionado pela camisa de manga comprida é e o proporcionado pela camisa de manga comprida é .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo e quais conteúdos vamos usar.
Enunciado em resumo:
• A malharia faz dois tipos de camisa (manga curta e comprida) e tem limites de horas semanais em corte, costura e acabamento.
• Cada camisa de manga curta dá R$ 4,00 de lucro; a de manga comprida dá R$ 3,00.
• Precisamos achar quantas de cada tipo fabricar pra maximizar o lucro.
Conteúdo envolvido: programação linear (otimização). A gente vai usar:
  1. Variáveis de decisão (x e y para as quantidades).
  2. Montar a função objetivo (lucro) e as restrições (horas disponíveis).
  3. Encontrar os vértices da região viável e ver qual dá maior lucro.

Passo 2

Definindo as variáveis e montando o modelo:
  • Seja Lucro L = 4x + 3y = número de camisas de manga curta.
  • Seja 4 e cada comprida R = número de camisas de manga comprida.
Função objetivo (o que queremos maximizar):
x >= 0, y >= 0
porque cada camisete curta dá R$ 4 e cada comprida R$ 3.
Agora, as restrições de horas:
  1. Corte: (horas máximas na seção de corte).
  2. Costura: .
  3. Acabamento: .
  4. E não faz sentido ter número negativo de camisas:

Passo 3

Qual é a ideia de “região viável” e por que só checar os vértices?
  • Região viável = todas as combinações que satisfazem as inequações acima.
  • Teorema do ponto ótimo em P.L. básica: o máximo (ou mínimo) ocorre em algum vértice dessa região poligonal.
    Então basta:
  1. Encontrar os vértices (interseções das retas que definem as restrições).
  2. Avaliar em cada vértice.
  3. Escolher o que der maior lucro.

Passo 4

Calcular as interseções das retas (ignoro aquelas que dão pontos negativos):
a) Interseção de
4x+3y=210, 1,5x+3y=180
Subtraindo a segunda da primeira:
(4-1,5)x = 210-180 ;Longrightarrow; 2,5x=30 ;Longrightarrow; x=12
18 +3y=180 ;Longrightarrow; 3y=162 ;Longrightarrow; y=54
1,5x+3y=180, 5x+3y=330
Logo ponto (5-1,5)x=330-180 ;Longrightarrow; 3,5x=150 ;Longrightarrow; x=1503,5approx42,857 .
b) Interseção de
5cdot42,857 +3y=330 ;Longrightarrow; 214,285 +3y=330 ;Longrightarrow; 3y=115,715 ;Longrightarrow; yapprox38,5717
Subtraindo:
Então
Esse é o ponto .
c) Também olhamos os “cantos” nos eixos:
  • .
  • Quando , restrições dão (a estrita vem da costura). Então .
  • Quando , temos (limite do corte). Então .

Passo 5

Avaliar o lucro L=4cdot42,857 +3cdot38,5717 approx171,428 +115,715 approx287,143 em cada ponto:
  • Em : .
  • Em : .
  • Em : .
  • Em : .
  • Em :
O maior lucro é em .

Resposta

Para maximizar o lucro, a malharia deve produzir aproximadamente
x ≈ 42,86 camisas de manga curta
y ≈ 38,57 camisas de manga comprida
Isso gera um lucro máximo de cerca de R$ 287,14.

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