Uma pessoa deve fazer uma dieta que forneça diariamente pelo menos 80 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina B, 100 mg de vitamina C e no máximo 60 mg de vitamina
. Qual deve ser o consumo diário de cada alimento de modo a satisfazer a dieta com um custo mínimo? A dieta pode incluir leite, arroz, feijão e carne, que possuem as seguintes quantidades de vitaminas:
Vitaminas | Alimentos | |||
---|---|---|---|---|
Leite (copo) | Arroz (100g) | Feijão (100g) | Carne (100g) | |
A | 10 | 5 | 9 | 10 |
B | 8 | 7 | 6 | 6 |
C | 15 | 3 | 4 | 7 |
D | 20 | 2 | 3 | 9 |
Custo |
|
|
|
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente montar uma dieta usando quatro alimentos (leite, arroz, feijão e carne) de modo que:
- A gente garanta, todo dia, pelo menos 80 mg de vitamina A, 70 mg de B e 100 mg de C;
- No máximo 60 mg de vitamina D;
- E ainda minimizar o custo total.
O conteúdo é Programação Linear (ou “otimização linear”). Vamos precisar:
- Definir variáveis para as quantidades diárias de cada alimento;
- Escrever as desigualdades (restrições) de vitaminas A, B, C (>=) e D (<=);
- Montar a função objetivo (custo) a minimizar;
- Analisar se existe solução viável (ponto que satisfaça tudo) – normalmente com o método Simplex ou raciocínio sobre razão vitamina C/ vitamina D.
Passo 2
Definindo as variáveis:
x₁ = copos de leite por dia
x₂ = 100 g de arroz por dia
x₃ = 100 g de feijão por dia
x₄ = 100 g de carne por dia
x₁ = copos de leite por dia
x₂ = 100 g de arroz por dia
x₃ = 100 g de feijão por dia
x₄ = 100 g de carne por dia
As restrições vêm da tabela de conteúdo de vitaminas:
(1) Vitamina A:
10 x₁ + 5 x₂ + 9 x₃ + 10 x₄ ≥ 80
(1) Vitamina A:
10 x₁ + 5 x₂ + 9 x₃ + 10 x₄ ≥ 80
(2) Vitamina B:
8 x₁ + 7 x₂ + 6 x₃ + 6 x₄ ≥ 70
8 x₁ + 7 x₂ + 6 x₃ + 6 x₄ ≥ 70
(3) Vitamina C:
15 x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ + 7 x₄ ≥ 100
15 x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ + 7 x₄ ≥ 100
(4) Vitamina D:
20 x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ + 9 x₄ ≤ 60
20 x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ + 9 x₄ ≤ 60
E a função custo a minimizar:
Minimize
C = 1,00·x₁ + 0,80·x₂ + 1,20·x₃ + 3,50·x₄
Minimize
C = 1,00·x₁ + 0,80·x₂ + 1,20·x₃ + 3,50·x₄
Além disso, x₁,x₂,x₃,x₄ ≥ 0.
Passo 3
Agora, pra ver se há solução, é legal checar se dá pra atender a vitamina C sem estourar a D.
- Qual alimento tem a “melhor” relação vitamina C/vitamina D?
- Leite: 15/20 = 0,75
- Arroz: 3/2 = 1,50 ← melhor
- Feijão: 4/3 ≃ 1,33
- Carne: 7/9 ≃ 0,78
Isso significa que, pra cada 1 mg de D, arroz dá 1,5 mg de C; o feijão dá 1,33 mg de C, e os outros dão menos.
Mas mesmo usando só o melhor (arroz), a gente esbarra em:
Se 2 mg de D ↦ 3 mg de C, então para atingir C ≥ 100, precisaríamos D ≥ (100 × 2/3) ≃ 66,67, que já é mais que o máximo 60 mg de D.
Mas mesmo usando só o melhor (arroz), a gente esbarra em:
Se 2 mg de D ↦ 3 mg de C, então para atingir C ≥ 100, precisaríamos D ≥ (100 × 2/3) ≃ 66,67, que já é mais que o máximo 60 mg de D.
Passo 4
Mesmo misturando arroz com feijão (os dois melhores na razão C/D), o sistema de inequações
2 x₂ + 3 x₃ ≤ 60 (D)
3 x₂ + 4 x₃ ≥ 100 ©
não admite solução não-negativa (basta resolver o sistema como igualdade e ver que leva a x₃<0).
2 x₂ + 3 x₃ ≤ 60 (D)
3 x₂ + 4 x₃ ≥ 100 ©
não admite solução não-negativa (basta resolver o sistema como igualdade e ver que leva a x₃<0).
Portanto, não há combinação viável de quantidades que entregue C ≥ 100 mg sem ultrapassar D ≤ 60 mg.
Resposta
Não existe solução viável: não é possível satisfazer simultaneamente a necessidade mínima de 100 mg de vitamina C e o teto de 60 mg de vitamina D com os quatro alimentos dados.