Uma pessoa deve fazer uma dieta que forneça diariamente pelo menos 80 mg de vitamina A, 70 mg de vitamina B, 100 mg de vitamina C e no máximo 60 mg de vitamina D. Qual deve ser o consumo diário de cada alimento de modo a satisfazer a dieta com um custo mínimo? A dieta pode incluir leite, arroz, feijão e carne, que possuem as seguintes quantidades de vitaminas:
Vitaminas Alimentos
Leite (copo) Arroz (100g) Feijão (100g) Carne (100g)
A 10 5 9 10
B 8 7 6 6
C 15 3 4 7
D 20 2 3 9
Custo R | 0,80 R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente montar uma dieta usando quatro alimentos (leite, arroz, feijão e carne) de modo que:
  1. A gente garanta, todo dia, pelo menos 80 mg de vitamina A, 70 mg de B e 100 mg de C;
  2. No máximo 60 mg de vitamina D;
  3. E ainda minimizar o custo total.
O conteúdo é Programação Linear (ou “otimização linear”). Vamos precisar:
  • Definir variáveis para as quantidades diárias de cada alimento;
  • Escrever as desigualdades (restrições) de vitaminas A, B, C (>=) e D (<=);
  • Montar a função objetivo (custo) a minimizar;
  • Analisar se existe solução viável (ponto que satisfaça tudo) – normalmente com o método Simplex ou raciocínio sobre razão vitamina C/ vitamina D.

Passo 2

Definindo as variáveis:
x₁ = copos de leite por dia
x₂ = 100 g de arroz por dia
x₃ = 100 g de feijão por dia
x₄ = 100 g de carne por dia
As restrições vêm da tabela de conteúdo de vitaminas:
(1) Vitamina A:
10 x₁ + 5 x₂ + 9 x₃ + 10 x₄ ≥ 80
(2) Vitamina B:
8 x₁ + 7 x₂ + 6 x₃ + 6 x₄ ≥ 70
(3) Vitamina C:
15 x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ + 7 x₄ ≥ 100
(4) Vitamina D:
20 x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ + 9 x₄ ≤ 60
E a função custo a minimizar:
Minimize
C = 1,00·x₁ + 0,80·x₂ + 1,20·x₃ + 3,50·x₄
Além disso, x₁,x₂,x₃,x₄ ≥ 0.

Passo 3

Agora, pra ver se há solução, é legal checar se dá pra atender a vitamina C sem estourar a D.
  • Qual alimento tem a “melhor” relação vitamina C/vitamina D?
    • Leite: 15/20 = 0,75
    • Arroz: 3/2 = 1,50 ← melhor
    • Feijão: 4/3 ≃ 1,33
    • Carne: 7/9 ≃ 0,78
Isso significa que, pra cada 1 mg de D, arroz dá 1,5 mg de C; o feijão dá 1,33 mg de C, e os outros dão menos.
Mas mesmo usando só o melhor (arroz), a gente esbarra em:
Se 2 mg de D ↦ 3 mg de C, então para atingir C ≥ 100, precisaríamos D ≥ (100 × 2/3) ≃ 66,67, que já é mais que o máximo 60 mg de D.

Passo 4

Mesmo misturando arroz com feijão (os dois melhores na razão C/D), o sistema de inequações
2 x₂ + 3 x₃ ≤ 60 (D)
3 x₂ + 4 x₃ ≥ 100 ©
não admite solução não-negativa (basta resolver o sistema como igualdade e ver que leva a x₃<0).
Portanto, não há combinação viável de quantidades que entregue C ≥ 100 mg sem ultrapassar D ≤ 60 mg.

Resposta

Não existe solução viável: não é possível satisfazer simultaneamente a necessidade mínima de 100 mg de vitamina C e o teto de 60 mg de vitamina D com os quatro alimentos dados.

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