Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A é de no mínimo 80 % do total de vendas de ambos ( A e B ). Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matériaprima cuja disponibilidade máxima diária é 240 kg . As taxas de utilização da matériaprima são 2 kg por unidade de Ae 4 kg por unidade de B . Os lucros unitários para A e B são R e e , respectivamente. Determine o mix de produto ótimo para a empresa.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que a questão pediu.
Temos uma empresa que fabrica dois produtos, A e B. A gente quer descobrir quantas unidades de A (que vou chamar de ) e quantas de B ( ) devem ser feitas por dia para maximizar o lucro.
Conteúdo: programação linear (otimização com restrições).
O que precisamos:
  • Definir variáveis de decisão ( e ).
  • Montar a função objetivo (lucro).
  • Montar as restrições (percentual mínimo, limite de produção e matéria-prima).
  • Encontrar os vértices da região viável e calcular o lucro em cada um.

Passo 2

Definindo as variáveis:
lucro = 20x + 50y = unidades de A por dia
= unidades de B por dia
Função objetivo (lucro total):
(20 reais de lucro por A, 50 por B)

Passo 3

Agora as restrições, uma a uma:
  1. A venda de A é no mínimo 80% do total x >= 0.8x + 0.8y ;;Longrightarrow;; 0.2x >= 0.8y ;;Longrightarrow;; x >= 4y :
    x <= 100
    Isso vira
    2x + 4y <= 240
  2. Não pode vender mais do que 100 unidades de A:
    x >= 0, y >= 0
  3. Matéria-prima: temos 240 kg por dia, A consome 2 kg e B consome 4 kg:
  4. Não faz sentido produzir quantidade negativa:

Passo 4

A solução de um problema de programação linear está num vértice da região delimitada por essas retas. Vamos achar os candidatos:
  1. Interseção de 2cdot100 + 4y =240 ;Longrightarrow;4y=40 ;Longrightarrow;y=10 com x=4yRightarrow2(4y)+4y=240 ;Longrightarrow;12y=240 ;Longrightarrow;y=20,;x=80 : ponto .
  2. Interseção de com : ponto .
  3. Interseção de com : ponto .
  4. Origem .

Passo 5

Agora calculamos o lucro em cada ponto:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
O maior lucro é 2600, no ponto .

Resposta

Produzir 80 unidades de A e 20 unidades de B por dia.

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