Uma pequena oficina de montagem de kits de primeiros socorros utiliza dois bens perfeitamente complementares:
- bem
: luvas descartáveis;
- bem
: máscaras de proteção.
Para montar um kit completo, a oficina precisa de exatamente 2 unidades de luvas (bem A ) e 1 unidade de máscara (bem B ). Se
denota a quantidade consumida de luvas e
a quantidade consumida de máscaras, a utilidade (número de kits que podem ser montados) é dada por uma função de Leontief:
Desenhe as curvas de nível da função
.
Interpretação Econômica: Note que a forma
é equivalente a uma função de proporções fixas. Neste contexto, dizer que são necessárias 2 unidades do bem A para complementar 1 unidade do bem B corresponde a escrever
Interpretação Econômica: Note que a forma
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função dada. Informações importantes que o enunciado fornece:
- A utilidade é
. - O domínio relevante é
e . - A tarefa é desenhar, para cada valor de utilidade
, o conjunto de pontos tais que . Essas são as curvas de nível (ou isoquantes) da função.
Passo 2
Definição prática de curva de nível para este caso. Para um nível fixo
, a curva de nível é
Como
, a igualdade
significa que o menor entre
e
é exatamente
. Em termos lógicos:
Isto é: ambos os termos devem ser ao menos
, e pelo menos um dos dois deve ser exatamente
.
Passo 3
Traduzindo as desigualdades em condições sobre
e
. A condição
é equivalente a
. Assim a curva de nível para um
fixo é a união de duas partes:
Ou seja, é a união de
- um segmento horizontal (na verdade um semirreto) com
e variando de até , e - um segmento vertical (um semirreto) com
e variando de até .
Esses dois semirretos encontram-se no ponto canto (o “canto” do L)
.
Passo 4
Caso especial
. Substituindo
na fórmula acima:
Ou seja, a curva de nível para
é o conjunto dos eixos coordenados não-negativos (
-eixo e
-eixo no primeiro quadrante).
Passo 5
Geometria e como desenhar na prática (passo a passo para a prova):
- Marque os eixos
(luvas) e (máscaras), com . - Para um valor
desejado, calcule o ponto canto . Esse ponto está sobre a reta que passa pela origem com equação (ou ). - Desenhe a partir de
um semirreto horizontal para a direita (mantendo e ) e um semirreto vertical para cima (mantendo e ). O conjunto formado tem a forma de um “L” com canto em . - Repita para vários valores de
(por exemplo ou valores contínuos). Isoquants de níveis maiores ficam mais longe da origem: o canto se desloca ao longo da reta para fora conforme aumenta.
Passo 6
Exemplos numéricos para fixar:
- Para
: o canto é . A curva de nível é . - Para
: o canto é . A curva de nível é .
Verificação com a definição: por exemplodá , logo pertence à curva de nível (faz parte do semirreto horizontal). Já dá , logo pertence à curva de nível (faz parte do semirreto vertical).
Passo 7
Interpretação econômica (rápida e útil para a prova): as isoquants em “L” refletem bens perfeitamente complementares em proporção fixa: são necessários exatamente 2 unidades de luvas para cada máscara. Assim, acrescentar luvas além de
enquanto tiver apenas
máscaras não aumenta
; igualmente, acrescentar máscaras além de
enquanto houver apenas
luvas não aumenta
. O ponto
é o ponto eficiente (sem desperdício) para produzir exatamente
kits.
Resposta
Para cada
,