Uma pequena oficina de montagem de kits de primeiros socorros utiliza dois bens perfeitamente complementares:
  • bem A : luvas descartáveis;
  • bem B : máscaras de proteção.
Para montar um kit completo, a oficina precisa de exatamente 2 unidades de luvas (bem A ) e 1 unidade de máscara (bem B ). Se x \geq 0 denota a quantidade consumida de luvas e y \geq 0 a quantidade consumida de máscaras, a utilidade (número de kits que podem ser montados) é dada por uma função de Leontief:
U(x, y)=\min \left\{\frac{x}{2}, y\right\}
Desenhe as curvas de nível da função U(x, y).
Interpretação Econômica: Note que a forma U(x, y)=\min \{a x, b y\} é equivalente a uma função de proporções fixas. Neste contexto, dizer que são necessárias 2 unidades do bem A para complementar 1 unidade do bem B corresponde a escrever
U(x, y)=\min \left\{\frac{x}{2}, y\right\}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função dada. Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A utilidade é U(x,y)=\min\!\left\{\dfrac{x}{2},\,y\right\}.
  • O domínio relevante é x\ge 0 e y\ge 0.
  • A tarefa é desenhar, para cada valor de utilidade k\ge 0, o conjunto de pontos (x,y) tais que U(x,y)=k. Essas são as curvas de nível (ou isoquantes) da função.

Passo 2

Definição prática de curva de nível para este caso. Para um nível fixo k\ge 0, a curva de nível é
\{(x,y)\in\mathbb{R}_+^2 \mid U(x,y)=k\}.
Como U(x,y)=\min\!\left\{\dfrac{x}{2},y\right\}, a igualdade U(x,y)=k significa que o menor entre \dfrac{x}{2} e y é exatamente k. Em termos lógicos:
U(x,y)=k\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x}{2}\ge k,\; y\ge k,\;\text{e}\;\Big(\frac{x}{2}=k\;\text{ou}\;y=k\Big).
Isto é: ambos os termos devem ser ao menos k, e pelo menos um dos dois deve ser exatamente k.

Passo 3

Traduzindo as desigualdades em condições sobre x e y. A condição \dfrac{x}{2}\ge k é equivalente a x\ge 2k. Assim a curva de nível para um k fixo é a união de duas partes:
\{(x,y)\mid U(x,y)=k\} = \{(x,y)\mid x\ge 2k,\\ y=k\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid x=2k,\\ y\ge k\}.
Ou seja, é a união de
  • um segmento horizontal (na verdade um semirreto) com y=k e x variando de 2k até +\infty, e
  • um segmento vertical (um semirreto) com x=2k e y variando de k até +\infty.
Esses dois semirretos encontram-se no ponto canto (o “canto” do L) (2k,k).

Passo 4

Caso especial k=0. Substituindo k=0 na fórmula acima:
\{(x,y)\mid U(x,y)=0\} = \{(x,0)\mid x\ge 0\}\\ \cup\\ \{(0,y)\mid y\ge 0\}.
Ou seja, a curva de nível para k=0 é o conjunto dos eixos coordenados não-negativos ( x-eixo e y-eixo no primeiro quadrante).

Passo 5

Geometria e como desenhar na prática (passo a passo para a prova):
  • Marque os eixos x (luvas) e y (máscaras), com x,y\ge 0.
  • Para um valor k desejado, calcule o ponto canto (2k,k). Esse ponto está sobre a reta que passa pela origem com equação x=2y (ou y=\tfrac{x}{2}).
  • Desenhe a partir de (2k,k) um semirreto horizontal para a direita (mantendo y=k e x\ge 2k) e um semirreto vertical para cima (mantendo x=2k e y\ge k). O conjunto formado tem a forma de um “L” com canto em (2k,k).
  • Repita para vários valores de k (por exemplo k=0,\,1,\,2 ou valores contínuos). Isoquants de níveis maiores ficam mais longe da origem: o canto (2k,k) se desloca ao longo da reta x=2y para fora conforme k aumenta.

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar:
  • Para k=1: o canto é (2,1). A curva de nível é \{(x,1)\mid x\ge 2\}\cup\{(2,y)\mid y\ge 1\}.
  • Para k=2: o canto é (4,2). A curva de nível é \{(x,2)\mid x\ge 4\}\cup\{(4,y)\mid y\ge 2\}.
    Verificação com a definição: por exemplo (x,y)=(5,1) U(5,1)=\min\!\left\{\dfrac{5}{2},1\right\}=1, logo pertence à curva de nível k=1 (faz parte do semirreto horizontal). Já (x,y)=(4,3) U(4,3)=\min\!\left\{2,3\right\}=2, logo pertence à curva de nível k=2 (faz parte do semirreto vertical).

Passo 7

Interpretação econômica (rápida e útil para a prova): as isoquants em “L” refletem bens perfeitamente complementares em proporção fixa: são necessários exatamente 2 unidades de luvas para cada máscara. Assim, acrescentar luvas além de 2k enquanto tiver apenas k máscaras não aumenta U; igualmente, acrescentar máscaras além de k enquanto houver apenas 2k luvas não aumenta U. O ponto (2k,k) é o ponto eficiente (sem desperdício) para produzir exatamente k kits.

Resposta

Para cada k\ge 0,
\{(x,y)\mid U(x,y)=k\}=\{(x,k)\mid x\ge 2k\}\\ \cup\\ \{(2k,y)\mid y\ge k\}.

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