Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio da função e representá-lo graficamente. A função dada é
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}.
Informações fornecidas: a expressão do numerador é 1 (sempre definida) e o denominador é x^{2}-y^{2}. A única possível restrição ao domínio vem de pontos onde o denominador é zero.

Passo 2

O que é domínio aqui (explicação didática)? Para uma função de duas variáveis f(x,y) o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido (está bem definida). No caso de uma fração, a única coisa que pode impedir a definição é dividir por zero. Portanto devemos exigir
x^{2}-y^{2}\neq 0.
Isto é a condição que define o domínio.

Passo 3

Vamos resolver a equação que causa a exclusão do domínio. Começamos por escrever a igualdade
x^{2}-y^{2}=0.
Reconheça a diferença de quadrados e fatorize:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Para que o produto seja zero é preciso que uma das parcelas seja zero, então
(x-y)(x+y)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-y=0 \\ \text{ou}\\ x+y=0.
Isto dá as duas retas
y=x \quad\text{ou}\quad y=-x.

Passo 4

Concluímos, portanto, que os pontos que devem ser excluídos do plano são exatamente os que pertencem às retas y=x e y=-x. Em linguagem de conjuntos:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}.
Uma forma alternativa, mais explícita, é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}^2\setminus\big(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=-x\}\big).

Passo 5

Interpretação geométrica e como desenhar: no plano xy desenhe os eixos normais e trace as duas retas diagonais y=x (45º) e y=-x (–45º). O domínio é o plano todo exceto essas duas linhas — ou seja, as retas são “buracos” onde a função não está definida. Para ajudar a visualizar, o plano fica dividido em quatro regiões abertas (componentes) separadas por essas duas retas.

Passo 6

Caracterização das quatro regiões (útil na prova): o sinal de x^{2}-y^{2} distingue as regiões:
  • Quando x^{2}-y^{2}>0 temos |x|>|y|. São as duas regiões centradas ao longo do eixo x (pense em dois “cones” voltados para a direita e para a esquerda).
  • Quando x^{2}-y^{2}<0 temos |x|<|y|. São as duas regiões centradas ao longo do eixo y.
    Em todas essas quatro regiões a função é bem definida e contínua; as únicas falhas estão exatamente nas retas y=\pm x.

Passo 7

Exemplos para fixar:
  • O ponto (2,1) pertence ao domínio porque 2^{2}-1^{2}=4-1=3\neq0, então f(2,1)=\dfrac{1}{3}.
  • O ponto (1,1) não pertence porque 1^{2}-1^{2}=0 (é excluído).
  • O ponto (1,2) pertence e f(1,2)=\dfrac{1}{1-4}=-\dfrac{1}{3}.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}=\mathbb{R}^2\setminus\big(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=-x\}\big).

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