Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio da função e representá-lo graficamente. A função dada é
Informações fornecidas: a expressão do numerador é
(sempre definida) e o denominador é
. A única possível restrição ao domínio vem de pontos onde o denominador é zero.
Passo 2
O que é domínio aqui (explicação didática)? Para uma função de duas variáveis
o domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida). No caso de uma fração, a única coisa que pode impedir a definição é dividir por zero. Portanto devemos exigir
Isto é a condição que define o domínio.
Passo 3
Vamos resolver a equação que causa a exclusão do domínio. Começamos por escrever a igualdade
Reconheça a diferença de quadrados e fatorize:
Para que o produto seja zero é preciso que uma das parcelas seja zero, então
Isto dá as duas retas
Passo 4
Concluímos, portanto, que os pontos que devem ser excluídos do plano são exatamente os que pertencem às retas
e
. Em linguagem de conjuntos:
Uma forma alternativa, mais explícita, é
Passo 5
Interpretação geométrica e como desenhar: no plano
desenhe os eixos normais e trace as duas retas diagonais
(45º) e
(–45º). O domínio é o plano todo exceto essas duas linhas — ou seja, as retas são “buracos” onde a função não está definida. Para ajudar a visualizar, o plano fica dividido em quatro regiões abertas (componentes) separadas por essas duas retas.
Passo 6
Caracterização das quatro regiões (útil na prova): o sinal de
distingue as regiões:
- Quando
temos . São as duas regiões centradas ao longo do eixo (pense em dois “cones” voltados para a direita e para a esquerda). - Quando
temos . São as duas regiões centradas ao longo do eixo .
Em todas essas quatro regiões a função é bem definida e contínua; as únicas falhas estão exatamente nas retas.
Passo 7
Exemplos para fixar:
- O ponto
pertence ao domínio porque , então . - O ponto
não pertence porque (é excluído). - O ponto
pertence e .