Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
f(x, y)=\frac{x-2 y}{x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio da função e representá-lo graficamente. A função dada é
f(x,y)=\frac{x-2y}{x+2y}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função tem duas variáveis reais x e y.
  • Trata‑se de uma fração (função racional) onde o denominador é x+2y.
  • Precisa-se identificar para quais pares (x,y) em \mathbb{R}^2 a expressão está bem definida e então desenhar esse conjunto no plano.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? O domínio é o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 para os quais a expressão que define f faz sentido e resulta em um número real. Regras simples a lembrar (muito úteis em prova):
  • Soma, subtração e multiplicação de reais sempre estão definidas para quaisquer x,y.
  • Divisão por zero não é permitida: se o denominador de uma fração for zero, a expressão não está definida naquele ponto.
    Portanto, para funções racionais como esta, basta assegurar que o denominador seja diferente de zero.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso denominador. Exigimos
x+2y \neq 0.
A equação que causa problema é
x+2y=0.
Resolver essa equação em termos de y
y=-\dfrac{x}{2}.
Isso é uma reta no plano cartesiano (passa pela origem e tem inclinação -\tfrac{1}{2}). Qualquer ponto que satisfaça y=-\tfrac{x}{2} torna o denominador zero e, portanto, não pertence ao domínio.

Passo 4

Escrever o domínio de forma matemática:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y\neq 0\}.
Outra forma equivalente e às vezes mais clara em desenho é separar em duas metades (meio‑planos) afastadas pela reta x+2y=0:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y>0\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y<0\}.
Esses dois conjuntos são os dois lados da reta; a própria reta x+2y=0 é excluída.

Passo 5

Como desenhar isso passo a passo (se estiver fazendo à mão na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a reta x+2y=0. Para marcá‑la é suficiente dois pontos: por exemplo, quando x=2 obtemos y=-1, ou seja o ponto (2,-1); quando x=-2 obtemos y=1, ponto (-2,1). Ligue esses pontos com uma linha.
  3. Como a reta é a fronteira que precisa ser excluída, desenhe‑a tracejada (linha descontínua) para indicar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
  4. Decida que lado corresponde a x+2y>0 testando um ponto fácil: o ponto (1,0) 1+2\cdot0=1>0, então a região que contém (1,0) é o conjunto onde x+2y>0. O outro lado (onde (-1,0) -1<0) é x+2y<0.
  5. Pinte ou sombreeie os dois lados da reta (ambos pertencem ao domínio), deixando a reta tracejada vazia.

Passo 6

Alguns exemplos numéricos rápidos para treinar e confirmar:
  • Para (x,y)=(2,0): f(2,0)=\frac{2-0}{2+0}=1, logo (2,0) pertence ao domínio.
  • Para (x,y)=(0,1): f(0,1)=\frac{0-2}{0+2}=-1, logo (0,1) pertence ao domínio.
  • Para (x,y)=(2,-1) (que está na reta x+2y=0): o denominador é 2+2(-1)=0, então f não está definida aí — ponto excluído.
    Observação prática: o domínio é a união de dois conjuntos abertos (os dois semi‑planos), então é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2; a reta é a fronteira (fechamento) que foi removida.

Passo 7

Resumo didático para a prova (como responder de forma direta e bonita):
  • Diga qual é a condição que proíbe pontos: x+2y\neq0.
  • Escreva o domínio em notação de conjuntos.
  • Desenhe a reta y=-\tfrac{x}{2} tracejada e sombreie ambos os lados, mostrando que a reta em si não faz parte do domínio.
    Você pode também apontar rapidamente um ponto teste de cada lado para justificar quais regiões são permitidas.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y\neq 0\}
\text{equivalente a}\quad D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y>0\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y<0\}

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