Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o domínio da função e representá-lo graficamente. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função tem duas variáveis reais
e . - Trata‑se de uma fração (função racional) onde o denominador é
. - Precisa-se identificar para quais pares
em a expressão está bem definida e então desenhar esse conjunto no plano.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
faz sentido e resulta em um número real. Regras simples a lembrar (muito úteis em prova):
- Soma, subtração e multiplicação de reais sempre estão definidas para quaisquer
. - Divisão por zero não é permitida: se o denominador de uma fração for zero, a expressão não está definida naquele ponto.
Portanto, para funções racionais como esta, basta assegurar que o denominador seja diferente de zero.
Passo 3
Aplique a regra ao nosso denominador. Exigimos
A equação que causa problema é
Resolver essa equação em termos de
dá
Isso é uma reta no plano cartesiano (passa pela origem e tem inclinação
). Qualquer ponto que satisfaça
torna o denominador zero e, portanto, não pertence ao domínio.
Passo 4
Escrever o domínio de forma matemática:
Outra forma equivalente e às vezes mais clara em desenho é separar em duas metades (meio‑planos) afastadas pela reta
:
Esses dois conjuntos são os dois lados da reta; a própria reta
é excluída.
Passo 5
Como desenhar isso passo a passo (se estiver fazendo à mão na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace a reta
. Para marcá‑la é suficiente dois pontos: por exemplo, quando obtemos , ou seja o ponto ; quando obtemos , ponto . Ligue esses pontos com uma linha. - Como a reta é a fronteira que precisa ser excluída, desenhe‑a tracejada (linha descontínua) para indicar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
- Decida que lado corresponde a
testando um ponto fácil: o ponto dá , então a região que contém é o conjunto onde . O outro lado (onde dá ) é . - Pinte ou sombreeie os dois lados da reta (ambos pertencem ao domínio), deixando a reta tracejada vazia.
Passo 6
Alguns exemplos numéricos rápidos para treinar e confirmar:
- Para
: logo pertence ao domínio. - Para
: logo pertence ao domínio. - Para
(que está na reta ): o denominador é , então não está definida aí — ponto excluído.
Observação prática: o domínio é a união de dois conjuntos abertos (os dois semi‑planos), então é um conjunto aberto em; a reta é a fronteira (fechamento) que foi removida.
Passo 7
Resumo didático para a prova (como responder de forma direta e bonita):
- Diga qual é a condição que proíbe pontos:
. - Escreva o domínio em notação de conjuntos.
- Desenhe a reta
tracejada e sombreie ambos os lados, mostrando que a reta em si não faz parte do domínio.
Você pode também apontar rapidamente um ponto teste de cada lado para justificar quais regiões são permitidas.