Uma pequena usina geradora industrial alimenta 50 kVA de compressores e 30 kVA de motores de indução. Os compressores possuem um fator de potência atrasado de 0,9 e os motores possuem um fator de potência atrasado de 0,85 . O sistema é alimentado por uma fonte de 1000 Vrms e 60 Hz . Determine a capacitância necessária para aumentar corrigir o fator de potência para 0,95. (10 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Compressors: 50\\ \text{kVA} com fator de potência atrasado \,0,90.
  • Motores: 30\\ \text{kVA} com fator de potência atrasado \,0,85.
  • Tensão da fonte: 1000\\ \text{V}_{\text{rms}}.
  • Frequência: 60\\ \text{Hz}.
    O que se pede: determinar a capacitância necessária para corrigir o fator de potência do conjunto para \,0,95 (atrasado para corrigido mais próximo de 0,95).
    Informações relevantes extraídas do enunciado: os valores de S (potência aparente) de cada grupo, os respectivos fatores de potência, a tensão e a frequência do sistema.

Passo 2

Conceitos básicos (explicados de forma direta para você aplicar na prova):
  • Potência aparente: \,S (em VA ou kVA) é o módulo da potência elétrica que combina potência ativa e reativa.
  • Potência ativa: \,P (em W ou kW) é a potência que realiza trabalho útil. Relação com S: \,P = S\cdot\text{pf}, onde \text{pf} é o fator de potência (coseno do ângulo de fase).
  • Potência reativa: \,Q (em VAR ou kVAR) está associada aos campos magnéticos/eléctricos e não realiza trabalho útil; está relacionada por \,Q = P\tan\varphi ou \,Q=\sqrt{S^2-P^2}, onde \varphi=\operatorname{arccos}(\text{pf}).
  • Fator de potência: \text{pf}=\cos\varphi. Para corrigir pf usamos capacitores que fornecem potência reativa capacitiva Q_C (valor positivo quando falamos do módulo), reduzindo a reativa indutiva total.
  • Relação capacitor-reatância reativa (sistema monofásico): potência reativa fornecida pelo capacitor (módulo) satisfaz
Q_C = V^2 \omega C,
onde V é a tensão RMS, \omega=2\pi f e C é a capacitância em farads. Dessa fórmula isolamos C por
C=\frac{Q_C}{V^2\omega}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a potência ativa de cada grupo (usar P=S\cdot\text{pf}):
  • Para os compressores:
P_1 = 50\\ \text{kVA}\times 0,90 = 45\\ \text{kW}.
  • Para os motores:
P_2 = 30\\ \text{kVA}\times 0,85 = 25{,}5\\ \text{kW}.
Potência ativa total:
P_{\text{tot}} = P_1 + P_2 = 45 + 25{,}5 = 70{,}5\\ \text{kW}.

Passo 4

Calcular a potência reativa inicial de cada grupo. Vou usar a fórmula \,Q=\sqrt{S^2-P^2}, porque é direta quando temos S e P.
  • Para os compressores:
Q_1=\sqrt{(50)^2-(45)^2}\\ \text{kVAR}=\sqrt{2500-2025}\\ \text{kVAR}=\sqrt{475}\\ \text{kVAR}\approx 21{,}7945\\ \text{kVAR}.
  • Para os motores:
Q_2=\sqrt{(30)^2-(25{,}5)^2}\\ \text{kVAR}=\sqrt{900-650{,}25}\\ \text{kVAR}=\sqrt{249{,}75}\\ \text{kVAR}\approx 15{,}8036\\ \text{kVAR}.
Potência reativa total inicial:
Q_{\text{tot,init}} = Q_1 + Q_2 \approx 21{,}7945 + 15{,}8036 = 37{,}5981\\ \text{kVAR}.

Passo 5

Calcular a potência reativa alvo quando o sistema tiver fator de potência igual a 0,95. Primeiro encontramos o ângulo \varphi_{\text{novo}}=\operatorname{arccos}(0,95) e então usamos Q_{\text{novo}}=P_{\text{tot}}\tan\varphi_{\text{novo}}.
  • Calcular \tan\varphi_{\text{novo}}:
\varphi_{\text{novo}}=\operatorname{arccos}(0,95),\qquad \tan\varphi_{\text{novo}}=\frac{\sqrt{1-0{,}95^2}}{0{,}95}\approx 0{,}3286841.
  • Então
Q_{\text{tot,novo}} = P_{\text{tot}}\tan\varphi_{\text{novo}} = 70{,}5\\ \text{kW}\times 0{,}3286841\approx 23{,}1722\\ \text{kVAR}.
Explicação curta: isso é a reativa que o conjunto deveria ter para ficar em pf 0,95.

Passo 6

Determinar a reativa que o capacitor precisa fornecer (módulo). Como o capacitor fornece reativa capacitiva que cancela parte da reativa indutiva, a reativa do capacitor (módulo) deve ser a diferença entre a reativa inicial e a reativa desejada:
Q_C = Q_{\text{tot,init}} - Q_{\text{tot,novo}} \approx 37{,}5981 - 23{,}1722 = 14{,}4259\\ \text{kVAR}.
Isso significa que precisamos de aproximadamente 14{,}4259\\ \text{kVAR} de reativa capacitiva.

Passo 7

Converter Q_C para unidades de VAR e usar a fórmula do capacitor para obter C. Primeiro convertemos:
Q_C = 14{,}4259\\ \text{kVAR} = 14{,}425{,}9\\ \text{VAR}.
Cálculo de \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\times 60 = 120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}9911184\\ \text{rad/s}.
A tensão em RMS é V=1000\\ \text{V}, então V^2=1{,}000{,}000\\ \text{V}^2. A fórmula:
C=\frac{Q_C}{V^2\omega}.

Passo 8

Substituindo os números:
C=\frac{14{,}425{,}9}{1{,}000{,}000\times 376{,}9911184}\\ \text{F} =\frac{14{,}425{,}9}{376{,}991{,}118{,}4}\\ \text{F} \approx 3{,}83\times 10^{-5}\\ \text{F}.
Convertendo para microfarads:
C\approx 38{,}3\\ \mu\text{F}.

Passo 9

Interpretação final e dica para a prova: você pode usar tanto Q=P\tan\varphi quanto Q=\sqrt{S^2-P^2} para achar Q de cada carga; para achar a capacitância use sempre Q_C=V^2\omega C (monofásico). Se o sistema fosse trifásico, a fórmula mudaria (usar tensão de fase ou linha conforme o tipo), então atenção ao enunciado.

Resposta

C \approx 3,83\times10^{-5}\\ \text{F} = 38,3\\ \mu\text{F}

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