[2,5 \mathrm{pts}] \mathrm{O} campo elétrico em certa região do espaço tem componentes E_{\gamma}=E_{2}=0 e E_{x}=5,00 N/C. O ponto A está no eixo y, em y=4,00 \mathrm{~m}, enquanto o ponto B está em no eixo x, em x=3,00 m . Determine a diferença de potencial entre os pontos B e A, ou seja, V_{R}-V_{A}.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico e as posições dos pontos e pede a diferença de potencial entre os pontos B e A. Informações dadas:
\;E_x=5{,}00\\ \mathrm{N/C},\;E_y=0,\;E_z=0.
O ponto A está no eixo y em y=4{,}00\\ \mathrm{m}, logo suas coordenadas são \mathbf{r}_A=(0,\,4{,}00,\,0).
O ponto B está no eixo x em x=3{,}00\\ \mathrm{m}, logo \mathbf{r}_B=(3{,}00,\,0,\,0).
Pede-se a diferença de potencial entre B e A, isto é \;V(B)-V(A).

Passo 2

Vamos lembrar a relação fundamental entre campo elétrico e potencial elétrico. A diferença de potencial entre dois pontos A e B é dada por
V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B} \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Aqui \mathbf{E} é o vetor campo elétrico e d\boldsymbol{\ell} é o elemento de deslocamento ao longo do caminho do ponto A até B. O sinal menos indica que o potencial diminui na direção do campo.

Passo 3

Escrevemos o campo e o elemento de deslocamento em componentes. Como só há componente x,
\mathbf{E} = E_x\,\hat{\mathbf{x}} = 5{,}00\,\hat{\mathbf{x}}\\ \mathrm{N/C}.
O elemento de comprimento é
d\boldsymbol{\ell} = dx\,\hat{\mathbf{x}} + dy\,\hat{\mathbf{y}} + dz\,\hat{\mathbf{z}}.
O produto escalar fica
\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = E_x\,dx + E_y\,dy + E_z\,dz.

Passo 4

Substituímos os valores e usamos que E_y=E_z=0. Assim
V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B} E_x\,dx - \int_{A}^{B} E_y\,dy - \int_{A}^{B} E_z\,dz = -\int_{x_A}^{x_B} E_x\,dx,
pois os termos em y e z são nulos. Os limites em x são x_A=0 e x_B=3{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Como E_x é constante, a integral é simples:
V(B)-V(A) = -E_x\,(x_B-x_A).
Substituindo números:
V(B)-V(A) = -\bigl(5{,}00\bigr)\bigl(3{,}00-0\bigr)\\ \mathrm{V} = -15{,}00\\ \mathrm{V}.
Interpretação física: movendo-se de A (em x=0) para B (em x=3{,}00) no sentido do campo \hat{\mathbf{x}} o potencial diminui, por isso o resultado negativo.

Resposta

-15{,}00\\ \mathrm{V}

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