Uma onda sonora se propaga no ar com densidade
conforme eq
, onde
é a variação de pressão em o deslocamento das partículas; qual a velocidade dessas partículas; qual a aceleração das partículas; qual é a compressibilidade “B” do meio.
Passo 1
O enunciado fornece:
(densidade do ar) e a variação de pressão associada à onda sonora
O que se pede:
- a velocidade das partículas (função de
e ); - a aceleração das partículas (função de
e ); - a compressibilidade “B” do meio (aqui entendida como módulo de compressibilidade ou módulo de volume, normalmente chamado de módulo de compressão ou módulo de Bulk
).
Passo 2
Vamos organizar a teoria necessária, devagar e com exemplos práticos para você aplicar na prova.
- Relação pressão–deformação (deslocamento): para uma onda longitudinal em um meio elástico homogêneo existe a relação
onde:
-
é a variação de pressão (Pa), aqui dada no enunciado; -
é o módulo de compressibilidade (ou módulo de Bulk) do meio (unidade Pa); -
é o deslocamento longitudinal das partículas do meio (m); -
é a deformação (variação relativa de comprimento).
Explicação simples: quando o meio é comprimido localmente (
) a pressão aumenta (
); o sinal menos só garante essa correspondência física.
- Relação entre deslocamento, velocidade e aceleração:
- Relação entre número de onda
, frequência angular e velocidade de onda :
No caso da forma
do enunciado,
e
.
- Relação entre
, e (prática muito usada em acústica):
Isso vem do fato de que
para ondas longitudinais em meios compressíveis. Outra relação útil é a impedância acústica
, que dá a relação entre amplitude de pressão e amplitude de velocidade:
onde
é amplitude da variação de pressão e
é amplitude da velocidade das partículas.
Plano de ação na resolução (resumido): identificar
,
,
; obter
; usar
; obter
e
a partir de
ou diretamente por
.
Passo 3
Identificar as quantidades que aparecem no enunciado (tirando delas os parâmetros numéricos):
A amplitude da pressão é o coeficiente multiplicando o seno, tomado do enunciado:
A amplitude da pressão é o coeficiente multiplicando o seno, tomado do enunciado:
Do argumento do seno extraímos:
Passo 4
Calcular numericamente
e
:
(Nas contas seguintes usaremos a relação
sem expandir mais estes valores, mas já sabemos as expressões exatas.)
Passo 5
Calcular a velocidade de propagação
usando
:
Comentário prático: esse valor está coerente com a velocidade do som no ar em condições usuais (por volta de
), o que é um bom “cheque” de sanidade.
Passo 6
Calcular o módulo de compressibilidade
usando
. Primeiro explico o porquê:
rearranjando dá
. Agora as contas:
Calculemos:
Arredondando com razoável precisão:
Passo 7
Encontrar o deslocamento
a partir de
.
Partimos de
Pela relação,
Integramos em
(assumimos que a constante de integração pode ser escolhida zero para o deslocamento médio nulo):
A integral em
dá (sabendo que
):
Portanto
Definimos aqui a amplitude do deslocamento
Passo 8
Calcular a velocidade das partículas
.
Derivando
em relação a
:
Como
— mais direto: derivando
em
obtemos
— obtemos
Simplificando
cancela:
Podemos também usar a fórmula direta com impedância acústica
. Usando essa fórmula (cheque de consistência), obtemos a amplitude numérica:
Portanto a velocidade das partículas é
Passo 9
Calcular a aceleração
.
A partir de
temos
Logo a amplitude da aceleração é
. Numericamente:
Portanto