Uma onda sonora se propaga no ar com densidade 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} conforme eq \Delta P(x, t)=28 \operatorname{sen} 2 \pi(3,33 x-1000 t), onde \Delta P_{m} é a variação de pressão em o deslocamento das partículas; qual a velocidade dessas partículas; qual a aceleração das partículas; qual é a compressibilidade “B” do meio.

Passo 1

O enunciado fornece:
\rho = 1,21\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade do ar) e a variação de pressão associada à onda sonora
\Delta P(x,t)=28\;\operatorname{sen} 2\pi(3,33\,x-1000\,t).
O que se pede:
  1. a velocidade das partículas (função de x e t);
  2. a aceleração das partículas (função de x e t);
  3. a compressibilidade “B” do meio (aqui entendida como módulo de compressibilidade ou módulo de volume, normalmente chamado de módulo de compressão ou módulo de Bulk B).

Passo 2

Vamos organizar a teoria necessária, devagar e com exemplos práticos para você aplicar na prova.
  1. Relação pressão–deformação (deslocamento): para uma onda longitudinal em um meio elástico homogêneo existe a relação
\Delta P(x,t) = -B\,\frac{\partial s(x,t)}{\partial x},
onde:
  • \Delta P(x,t) é a variação de pressão (Pa), aqui dada no enunciado;
  • B é o módulo de compressibilidade (ou módulo de Bulk) do meio (unidade Pa);
  • s(x,t) é o deslocamento longitudinal das partículas do meio (m);
  • \partial s/\partial x é a deformação (variação relativa de comprimento).
Explicação simples: quando o meio é comprimido localmente ( \partial s/\partial x<0) a pressão aumenta ( \Delta P>0); o sinal menos só garante essa correspondência física.
  1. Relação entre deslocamento, velocidade e aceleração:
v(x,t)=\frac{\partial s(x,t)}{\partial t},\qquad a(x,t)=\frac{\partial^2 s(x,t)}{\partial t^2}.
  1. Relação entre número de onda k, frequência angular \omega e velocidade de onda c:
k=\frac{\omega}{c}\quad\text{ou}\quad \omega = c\,k.
No caso da forma \operatorname{sen} 2\pi(\alpha x - f t) do enunciado, k=2\pi\alpha e \omega=2\pi f.
  1. Relação entre B, \rho e c (prática muito usada em acústica):
B=\rho\,c^{2}.
Isso vem do fato de que c=\sqrt{B/\rho} para ondas longitudinais em meios compressíveis. Outra relação útil é a impedância acústica Z=\rho c, que dá a relação entre amplitude de pressão e amplitude de velocidade:
\Delta P_{m} = Z\,v_{m} = \rho c\, v_{m}
onde \Delta P_{m} é amplitude da variação de pressão e v_{m} é amplitude da velocidade das partículas.
Plano de ação na resolução (resumido): identificar \Delta P_{m}, k, \omega; obter c=\omega/k; usar B=\rho c^{2}; obter v(x,t) e a(x,t) a partir de s(x,t) ou diretamente por \Delta P_{m}= \rho c v_{m}.

Passo 3

Identificar as quantidades que aparecem no enunciado (tirando delas os parâmetros numéricos):
A amplitude da pressão é o coeficiente multiplicando o seno, tomado do enunciado:
\Delta P_{m}=28\\ \mathrm{Pa}.
Do argumento do seno extraímos:
k = 2\pi\cdot 3,33,\qquad \omega = 2\pi\cdot 1000.

Passo 4

Calcular numericamen­te k e \omega:
k = 2\pi\cdot 3,33 = 2\pi\cdot 3{,}33,
\omega = 2\pi\cdot 1000 = 2000\pi.
(Nas contas seguintes usaremos a relação c=\omega/k sem expandir mais estes valores, mas já sabemos as expressões exatas.)

Passo 5

Calcular a velocidade de propagação c usando c=\omega/k:
c=\frac{\omega}{k}=\frac{2\pi\cdot 1000}{2\pi\cdot 3{,}33}=\frac{1000}{3{,}33}\approx 300{,}30\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: esse valor está coerente com a velocidade do som no ar em condições usuais (por volta de 300\\ \mathrm{m/s}), o que é um bom “cheque” de sanidade.

Passo 6

Calcular o módulo de compressibilidade B usando B=\rho c^{2}. Primeiro explico o porquê: c=\sqrt{B/\rho} rearranjando dá B=\rho c^{2}. Agora as contas:
B=\rho c^{2}=1{,}21\cdot (300{,}30)^{2}.
Calculemos:
(300{,}30)^{2}\approx 90180{,}18,
B\approx 1{,}21\cdot 90180{,}18 \approx 1{,}09118\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com razoável precisão:
B\approx 1{,}09\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Encontrar o deslocamento s(x,t) a partir de \Delta P(x,t)=-B\,\partial s/\partial x.
Partimos de
\Delta P(x,t)=28\;\operatorname{sen} 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t).
Pela relação,
\frac{\partial s}{\partial x} = -\frac{\Delta P(x,t)}{B} = -\frac{28}{B}\;\operatorname{sen} 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t).
Integramos em x (assumimos que a constante de integração pode ser escolhida zero para o deslocamento médio nulo):
s(x,t)= -\frac{28}{B}\int \operatorname{sen}(2\pi(3{,}33\,x-1000\,t))\,dx.
A integral em x dá (sabendo que \int \operatorname{sen}(kx+\varphi)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+\varphi)):
s(x,t)= -\frac{28}{B}\left(-\frac{1}{2\pi\cdot 3{,}33}\right)\cos 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t).
Portanto
s(x,t)=\frac{28}{2\pi\cdot 3{,}33\,B}\;\cos 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t).
Definimos aqui a amplitude do deslocamento
s_{m}=\frac{28}{2\pi\cdot 3{,}33\,B}.

Passo 8

Calcular a velocidade das partículas v(x,t)=\partial s/\partial t.
Derivando s(x,t) em relação a t:
v(x,t)=\frac{\partial s}{\partial t} = \frac{28}{2\pi\cdot 3{,}33\,B}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\big(\cos 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t)\big).
Como \frac{\partial}{\partial t}\cos(2\pi(3{,}33\,x-1000\,t)) = -\big(2\pi\cdot 1000\big)\,\left(-\operatorname{sen}\right) — mais direto: derivando \cos(kx-\omega t) em t obtemos +\omega \operatorname{sen}(kx-\omega t) — obtemos
v(x,t)=\frac{28}{2\pi\cdot 3{,}33\,B}\cdot (2\pi\cdot 1000)\;\operatorname{sen} 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t).
Simplificando 2\pi cancela:
v(x,t)=\frac{28\cdot 1000}{3{,}33\,B}\;\operatorname{sen} 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t).
Podemos também usar a fórmula direta com impedância acústica v_{m}=\dfrac{\Delta P_{m}}{\rho c}. Usando essa fórmula (cheque de consistência), obtemos a amplitude numérica:
v_{m}=\frac{28}{\rho c}=\frac{28}{1{,}21\cdot 300{,}30}\approx 0{,}0770\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade das partículas é
v(x,t)\approx 0{,}0770\;\operatorname{sen} 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Calcular a aceleração a(x,t)=\partial v/\partial t.
A partir de v(x,t)=v_{m}\operatorname{sen}(kx-\omega t) temos
a(x,t)=\frac{\partial v}{\partial t}=v_{m}\cdot \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{sen}(kx-\omega t) = v_{m}\cdot (-\omega)\cos(kx-\omega t).
Logo a amplitude da aceleração é a_{m}=\omega v_{m}. Numericamente:
\omega = 2\pi\cdot 1000 \approx 6283{,}19\\ \mathrm{rad/s},
a_{m}=\omega v_{m}\approx 6283{,}19\cdot 0{,}0770 \approx 484{,}1\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto
a(x,t)\approx -484{,}1\;\cos 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t)\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

v(x,t)=0{,}0770\;\operatorname{sen} 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t)\\ \mathrm{m/s}
a(x,t)=-484{,}1\;\cos 2\pi(3{,}33\,x-1000\,t)\\ \mathrm{m/s^{2}}
B\approx 1{,}09\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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