Considere um conjunto de osciladores harmônicos unidimensionais clássicos. (a) Seja o deslocamento x de um oscilador em função do tempo t dado por x=A \cos (\omega t+\varphi). Suponha que o ângulo de fase \varphi é igualmente provável de assumir qualquer valor em seu intervalo 0<\varphi<2 \pi. A probabilidade w(\varphi) \mathrm{d} \varphi de modo que \varphi esteja no intervalo \varphi e \varphi+\mathrm{d} \varphi é então simplesmente dado por w(\varphi) \mathrm{d} \varphi=(2 \pi)^{-1} \mathrm{~d} \varphi. Para qualquer tempo t fixo, encontre a probabilidade P(x) \mathrm{d} x de que x esteja entre x e x+\mathrm{d} x somando w(\varphi) \mathrm{d} \varphi sobre todos os ângulos \varphi para os quais x está neste intervalo. Expressar P(x) em termos de A e x. (b) Considere o espaço de fase clássico para tal conjunto de osciladores, sabendose que sua energia está numa pequena faixa entre E e E+\delta E. Calcule P(x) \mathrm{d} x usando a razão do volume de espaço de fase situado nesta faixa de energia e na faixa entre x e x+\mathrm{d} x para o volume total do espaço fase situado na faixa de energia entre E e E+\delta E. Expresse P(x) em termos de E e x. Relacionando E com a amplitude A, mostre que o resultado é o mesmo que o obtido no item (a).
Passo 1
O enunciado dá duas formas de obter a distribuição de probabilidades de x e pede para mostrar que ambas dão o mesmo resultado.
Informações e o que é pedido:
Para um oscilador harmônico unidimensional o deslocamento é dado por x=A\cos(\omega t+\varphi).
O ângulo de fase \varphi é uniformemente distribuído no intervalo 0<\varphi<2\pi, ou seja a probabilidade é
(a) Para tempo fixo, encontrar a densidade de probabilidade P(x) tal que P(x)\,\mathrm{d}x é a probabilidade de que o deslocamento esteja entre x e x+\mathrm{d}x. Expressar P(x) em termos de A e x.
(b) Considerando o espaço de fase com energia numa faixa pequena entre E e E+\delta E, calcular P(x) como razão de volumes no espaço de fase e expressar P(x) em termos de E e x. Relacionar E com A e mostrar que o resultado coincide com o do item (a).
Condições implícitas que usaremos:
O suporte de P(x) será |x|\le A (fora desse intervalo a probabilidade é zero).
Para o oscilador harmônico clássico usaremos a energia
Resolvendo o item (a) — mudança de variável da fase para a posição.
Explicação do método (intuição): para variáveis contínuas a probabilidade se conserva pela mudança de variável: P(x)\,\mathrm{d}x=w(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi quando x e \varphi estão relacionados. Se a relação for multivalorada (vários \varphi dão o mesmo x), somamos as contribuições de cada raiz usando o valor absoluto do jacobiano.
Aplicação ao problema:
Defina \theta=\omega t+\varphi. Como \varphi é uniforme em (0,2\pi), \theta também é uniforme em (0,2\pi) (para t fixo), então
Número de soluções \theta_{i}: para um dado x com |x|\le A existem exatamente duas soluções \theta_{1},\theta_{2} no intervalo [0,2\pi) (por exemplo \theta_{1}=\operatorname{arccos}(x/A) e \theta_{2}=2\pi-\operatorname{arccos}(x/A)). Cada uma contribui igualmente porque w(\theta)=1/(2\pi).
Resolvendo o item (b) — método do espaço de fase (microcanônico).
Intuição e método: no ensemble microcanônico, todas as microestados com energia exatamente E (ou dentro de uma faixa estreita E a E+\delta E) são igualmente prováveis. A probabilidade de encontrar coordenada entre x e x+\mathrm{d}x é proporcional ao volume (aqui: área) do espaço de fase com energia na faixa e com essa faixa de x. Para cálculo prático é conveniente usar a representação com a delta de Dirac:
\text{densidade não-normalizada em }x \propto \int_{-\infty}^{\infty}\delta\!\big(H(x,p)-E\big)\,\mathrm{d}p,ã
pois isso integra todos os momentos p compatíveis com a energia E para um x fixo.
P(x)=\dfrac{1}{\pi\sqrt{A^{2}-x^{2}}} para |x|\le A (e P(x)=0 para |x|>A).\n P(x)=\dfrac{1}{\pi\sqrt{\dfrac{2E}{k}-x^{2}}} para |x|\le \sqrt{\dfrac{2E}{k}} (e P(x)=0 fora).