Considere um conjunto de osciladores harmônicos unidimensionais clássicos. (a) Seja o deslocamento x de um oscilador em função do tempo t dado por x=A \cos (\omega t+\varphi). Suponha que o ângulo de fase \varphi é igualmente provável de assumir qualquer valor em seu intervalo 0<\varphi<2 \pi. A probabilidade w(\varphi) \mathrm{d} \varphi de modo que \varphi esteja no intervalo \varphi e \varphi+\mathrm{d} \varphi é então simplesmente dado por w(\varphi) \mathrm{d} \varphi=(2 \pi)^{-1} \mathrm{~d} \varphi. Para qualquer tempo t fixo, encontre a probabilidade P(x) \mathrm{d} x de que x esteja entre x e x+\mathrm{d} x somando w(\varphi) \mathrm{d} \varphi sobre todos os ângulos \varphi para os quais x está neste intervalo. Expressar P(x) em termos de A e x. (b) Considere o espaço de fase clássico para tal conjunto de osciladores, sabendose que sua energia está numa pequena faixa entre E e E+\delta E. Calcule P(x) \mathrm{d} x usando a razão do volume de espaço de fase situado nesta faixa de energia e na faixa entre x e x+\mathrm{d} x para o volume total do espaço fase situado na faixa de energia entre E e E+\delta E. Expresse P(x) em termos de E e
x. Relacionando E com a amplitude A, mostre que o resultado é o mesmo que o obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado dá duas formas de obter a distribuição de probabilidades de x e pede para mostrar que ambas dão o mesmo resultado.
Informações e o que é pedido:
  • Para um oscilador harmônico unidimensional o deslocamento é dado por x=A\cos(\omega t+\varphi).
  • O ângulo de fase \varphi é uniformemente distribuído no intervalo 0<\varphi<2\pi, ou seja a probabilidade é
w(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi=\frac{1}{2\pi}\,\mathrm{d}\varphi.
  • (a) Para tempo fixo, encontrar a densidade de probabilidade P(x) tal que P(x)\,\mathrm{d}x é a probabilidade de que o deslocamento esteja entre x e x+\mathrm{d}x. Expressar P(x) em termos de A e x.
  • (b) Considerando o espaço de fase com energia numa faixa pequena entre E e E+\delta E, calcular P(x) como razão de volumes no espaço de fase e expressar P(x) em termos de E e x. Relacionar E com A e mostrar que o resultado coincide com o do item (a).
Condições implícitas que usaremos:
  • O suporte de P(x) será |x|\le A (fora desse intervalo a probabilidade é zero).
  • Para o oscilador harmônico clássico usaremos a energia
H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k x^{2},
com k=m\omega^{2} e a relação entre E e A:
E=\frac{1}{2}kA^{2}\quad\Leftrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2E}{k}}.

Passo 2

Resolvendo o item (a) — mudança de variável da fase para a posição.
Explicação do método (intuição): para variáveis contínuas a probabilidade se conserva pela mudança de variável: P(x)\,\mathrm{d}x=w(\varphi)\,\mathrm{d}\varphi quando x e \varphi estão relacionados. Se a relação for multivalorada (vários \varphi dão o mesmo x), somamos as contribuições de cada raiz usando o valor absoluto do jacobiano.
Aplicação ao problema:
  • Defina \theta=\omega t+\varphi. Como \varphi é uniforme em (0,2\pi), \theta também é uniforme em (0,2\pi) (para t fixo), então
w(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2\pi}\,\mathrm{d}\theta.
  • A relação entre \theta e x é
x=A\cos\theta.
  • A regra de mudança de variável para densidades diz
P(x)=\sum_{i}\,w(\theta_{i})\left|\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right|_{x,\theta_{i}},
onde a soma é sobre todas as soluções \theta_{i} em [0,2\pi) que satisfazem x=A\cos\theta_{i}.
Cálculo do jacobiano:
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}=-A\sin\theta \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right|=\frac{1}{A|\sin\theta|}.
Mas de x=A\cos\theta temos
|\sin\theta|=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{x}{A}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}{A}.
Logo
\left|\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\right|=\frac{1}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}.
Número de soluções \theta_{i}: para um dado x com |x|\le A existem exatamente duas soluções \theta_{1},\theta_{2} no intervalo [0,2\pi) (por exemplo \theta_{1}=\operatorname{arccos}(x/A) e \theta_{2}=2\pi-\operatorname{arccos}(x/A)). Cada uma contribui igualmente porque w(\theta)=1/(2\pi).
Somando as duas contribuições:
P(x)=2\cdot\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}=\frac{1}{\pi\sqrt{A^{2}-x^{2}}},\qquad (|x|\le A),
e P(x)=0 para |x|>A.
Verificação rápida da normalização (importante didaticamente): usar a integral padrão
\int_{-A}^{A}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}=\pi,
portanto
\int_{-A}^{A}P(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-A}^{A}\frac{1}{\pi\sqrt{A^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x=1.

Passo 3

Resolvendo o item (b) — método do espaço de fase (microcanônico).
Intuição e método: no ensemble microcanônico, todas as microestados com energia exatamente E (ou dentro de uma faixa estreita E a E+\delta E) são igualmente prováveis. A probabilidade de encontrar coordenada entre x e x+\mathrm{d}x é proporcional ao volume (aqui: área) do espaço de fase com energia na faixa e com essa faixa de x. Para cálculo prático é conveniente usar a representação com a delta de Dirac:
\text{densidade não-normalizada em }x \propto \int_{-\infty}^{\infty}\delta\!\big(H(x,p)-E\big)\,\mathrm{d}p,ã
pois isso integra todos os momentos p compatíveis com a energia E para um x fixo.
Aplicação:
  • Escrevendo H explicitamente,
\delta\!\big(H(x,p)-E\big)=\delta\!\left(\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k x^{2}-E\right).
  • Para x tal que \tfrac{1}{2}k x^{2}>E não há solução (energia cinética negativa), logo P(x)=0 fora de |x|\le A com A=\sqrt{2E/k}.
  • Para |x|\le A definimos
a\equiv E-\tfrac{1}{2}k x^{2}\quad(\ge 0).
Queremos calcular
I(x)\equiv\int_{-\infty}^{\infty}\delta\!\left(\frac{p^{2}}{2m}-a\right)\,\mathrm{d}p.
Use a propriedade da delta para funções com raízes: se f(p)=\tfrac{p^{2}}{2m}-a então as raízes são p=\pm\sqrt{2m a} e f'(p)=p/m. Assim
I(x)=\sum_{p_i=\pm\sqrt{2ma}}\frac{1}{|f'(p_i)|}=\frac{1}{|(\sqrt{2ma})/m|}+\frac{1}{|(-\sqrt{2ma})/m|} =2\cdot\frac{m}{\sqrt{2ma}}=\frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{a}}.
Portanto a densidade não-normalizada é
\tilde{P}(x)=\frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{E-\tfrac{1}{2}k x^{2}}}\quad\text{para }|x|\le A.

Passo 4

Normalização e simplificação do resultado do item (b); comparação com (a).
Normalizar \tilde{P}(x): queremos P(x)=C\,\tilde{P}(x) com C tal que \int_{-A}^{A}P(x)\,\mathrm{d}x=1. Calcule o integral
\int_{-A}^{A}\tilde{P}(x)\,\mathrm{d}x=\sqrt{2m}\int_{-A}^{A}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{E-\tfrac{1}{2}k x^{2}}}.
Observe que E-\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}k(A^{2}-x^{2}). Então
\int_{-A}^{A}\tilde{P}(x)\,\mathrm{d}x=\sqrt{2m}\int_{-A}^{A}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\tfrac{1}{2}k(A^{2}-x^{2})}} =\sqrt{2m}\cdot\frac{1}{\sqrt{\tfrac{1}{2}k}}\int_{-A}^{A}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}.
Simplificando os fatores:
\sqrt{2m}\cdot\frac{1}{\sqrt{\tfrac{1}{2}k}}=\sqrt{2m}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}=\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{k}}.
E como
\int_{-A}^{A}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}=\pi,
temos
\int_{-A}^{A}\tilde{P}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{k}}\pi.
Logo a constante de normalização é
C=\frac{1}{\displaystyle\frac{2\sqrt{m}}{\sqrt{k}}\pi}=\frac{\sqrt{k}}{2\pi\sqrt{m}}.
Aplicando C a \tilde{P}(x):
P(x)=\frac{\sqrt{k}}{2\pi\sqrt{m}}\cdot\frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{E-\tfrac{1}{2}k x^{2}}} =\frac{\sqrt{k/2}}{\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{E-\tfrac{1}{2}k x^{2}}}.
Substituindo E-\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}k(A^{2}-x^{2}) e cancelando \sqrt{k/2} resulta
P(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{A^{2}-x^{2}}},\qquad(|x|\le A),
o mesmo resultado obtido no item (a). Em termos de E e x, usando A=\sqrt{2E/k}, pode-se escrever também
P(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{\dfrac{2E}{k}-x^{2}}},\qquad(|x|\le \sqrt{2E/k}).

Resposta

P(x)=\dfrac{1}{\pi\sqrt{A^{2}-x^{2}}} para |x|\le A (e P(x)=0 para |x|>A).\n
P(x)=\dfrac{1}{\pi\sqrt{\dfrac{2E}{k}-x^{2}}} para |x|\le \sqrt{\dfrac{2E}{k}} (e P(x)=0 fora).

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