Um pequeno degrau de energia potencial é introduzido em um problema de partícula na caixa unidimensional. Esse degrau possui uma largura a, centrada na caixa, e uma altura (barreira de potencial) de
. Descreva as regiões do problema e discuta sobre o coeficiente de transmissão.
a. O que ocorre com a possibilidade de transmissão caso o potencial seja sobrado?
b. Caso o comprimento da barreira diminua, haverá efeito sobre T ?
c. Caso o sistema seja aquecido, T é afetrado?
a. O que ocorre com a possibilidade de transmissão caso o potencial seja sobrado?
b. Caso o comprimento da barreira diminua, haverá efeito sobre T ?
c. Caso o sistema seja aquecido, T é afetrado?
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula presa numa “caixa” unidimensional de comprimento
com poços infinitos nas bordas, mas contendo no centro um pequeno degrau (barreira) de potencial de altura
e largura
. O objetivo é descrever as três regiões onde a partícula se move livremente (regiões I e III) ou enfrenta a barreira (região II), obter o coeficiente de transmissão
através dessa barreira e discutir como ele varia quando:
- (a) a altura
cresce muito, - (b) a largura
diminui, - (c) a energia da partícula aumenta (por “aquecimento” do sistema).
Passo 2
Definimos as regiões da seguinte forma:
– Região I: , onde
.
– Região II: , onde
.
– Região III: , onde
.
Nas regiões I e III a equação de Schrödinger estacionária é
– Região I:
– Região II:
– Região III:
Nas regiões I e III a equação de Schrödinger estacionária é
e, na região II,
Passo 3
As soluções em cada região são ondas planas ou decaimento exponencial:
– Região I:
– Região I:
– Região II (para
):
– Região III:
Impondo continuidade de
e de
em
e
, obtém-se o coeficiente de transmissão
Passo 4
a. Se aumentamos muito a altura da barreira
, então
Isto é, para uma barreira muito alta, não há transmissão quântica.
Passo 5
b. Diminuindo a largura
, o fator
diminui, aproximando-se de
se
. Logo o denominador de
fica menor e
Barreiras mais finas permitem maior taxa de tunelamento.
Barreiras mais finas permitem maior taxa de tunelamento.
Passo 6
c. “Aquecendo” o sistema, aumentamos a energia média
das partículas. Como
cresce com
(pois
diminui e, para
, a transmissão passa a ser próxima de 1), o coeficiente de transmissão também aumenta com a temperatura.
Resposta
a. Quando
,
, não há transmissão.
b. Se diminui,
aumenta (tunelamento mais fácil).
c. Ao aumentar (temperatura maior),
cresce.
b. Se
c. Ao aumentar