Um pequeno degrau de energia potencial é introduzido em um problema de partícula na caixa unidimensional. Esse degrau possui uma largura a, centrada na caixa, e uma altura (barreira de potencial) de \varepsilon. Descreva as regiões do problema e discuta sobre o coeficiente de transmissão.
a. O que ocorre com a possibilidade de transmissão caso o potencial seja sobrado?
b. Caso o comprimento da barreira diminua, haverá efeito sobre T ?
c. Caso o sistema seja aquecido, T é afetrado?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula presa numa “caixa” unidimensional de comprimento L com poços infinitos nas bordas, mas contendo no centro um pequeno degrau (barreira) de potencial de altura \varepsilon e largura a. O objetivo é descrever as três regiões onde a partícula se move livremente (regiões I e III) ou enfrenta a barreira (região II), obter o coeficiente de transmissão T através dessa barreira e discutir como ele varia quando:
  • (a) a altura \varepsilon cresce muito,
  • (b) a largura a diminui,
  • (c) a energia da partícula aumenta (por “aquecimento” do sistema).

Passo 2

Definimos as regiões da seguinte forma:
– Região I: 0<x<\tfrac{L-a}{2}, onde V(x)=0.
– Região II: \tfrac{L-a}{2}<x<\tfrac{L+a}{2}, onde V(x)=\varepsilon.
– Região III: \tfrac{L+a}{2}<x<L, onde V(x)=0.
Nas regiões I e III a equação de Schrödinger estacionária é
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\,\psi
e, na região II,
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2}+ \varepsilon\,\psi=E\,\psi \;\Longrightarrow\; -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2}=(E-\varepsilon)\,\psi.

Passo 3

As soluções em cada região são ondas planas ou decaimento exponencial:
– Região I:
\psi_I(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
– Região II (para E<\varepsilon):
\psi_{II}(x)=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x},\quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(\varepsilon-E)}}{\hbar}.
– Região III:
\psi_{III}(x)=Fe^{ikx}.
Impondo continuidade de \psi e de \psi' em x=(L-a)/2 e x=(L+a)/2, obtém-se o coeficiente de transmissão
T=\frac{|F|^2}{|A|^2} \;\approx\; \frac{1}{1+\displaystyle\frac{\varepsilon^2}{4E(\varepsilon-E)}\,\operatorname{sinh}^2(\kappa a)}.

Passo 4

a. Se aumentamos muito a altura da barreira \varepsilon\to\infty, então
\kappa=\frac{\sqrt{2m(\varepsilon-E)}}{\hbar}\to\infty \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sinh}(\kappa a)\to\infty \;\Longrightarrow\; T\to0.
Isto é, para uma barreira muito alta, não há transmissão quântica.

Passo 5

b. Diminuindo a largura a, o fator \operatorname{sinh}^2(\kappa a) diminui, aproximando-se de (\kappa a)^2 se a\ll1. Logo o denominador de T fica menor e T\;\uparrow.
Barreiras mais finas permitem maior taxa de tunelamento.

Passo 6

c. “Aquecendo” o sistema, aumentamos a energia média E das partículas. Como T cresce com E (pois \kappa diminui e, para E>\varepsilon, a transmissão passa a ser próxima de 1), o coeficiente de transmissão também aumenta com a temperatura.

Resposta

a. Quando \varepsilon\to\infty, T\to0, não há transmissão.
b. Se a diminui, T aumenta (tunelamento mais fácil).
c. Ao aumentar E (temperatura maior), T cresce.

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