A Colônia de Pescadores Mar Azul tem uma frota de barcos de pesca que atua diariamente nas águas territoriais de determinado país. A pesca tem restrições legais e, para evitar a pesca indiscriminada e predatória, a colônia recebeu permissão do órgão controlados para capturar, mensalmente, o máximo de 3000 toneladas de badejo, 1200 de vermelho e 900 de cação. O órgão governamental também determinou que o máximo que a empresa pode pescar não pode ultrapassar 4600 toneladas. Devido a problemas em sua câmara fria, a quantidade de badejo a ser pescada não pode ser maior que o dobro da quantidade de vermelho. Sabendo que a colônia repassa o peixe ao valor do quilo de
badejo,
o vermelho e
cação. Qual é a programação de pesca a ser seguida?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular:
Temos uma colônia de pesca que tem limites mensais de captura: até 3000 t de badejo, 1200 t de vermelho, 900 t de cação e, no total, até 4600 t. Além disso, a quantidade de badejo não pode passar do dobro do vermelho. Os preços por quilo são 8 $ (badejo), 9 $ (vermelho) e 100 $ (cação).
O conteúdo da matéria é Programação Linear (Linear Programming). A ideia é definir variáveis para cada tipo de peixe, montar função objetivo (receita total) e as restrições, e depois achar a combinação que dá a receita máxima.
Temos uma colônia de pesca que tem limites mensais de captura: até 3000 t de badejo, 1200 t de vermelho, 900 t de cação e, no total, até 4600 t. Além disso, a quantidade de badejo não pode passar do dobro do vermelho. Os preços por quilo são 8 $ (badejo), 9 $ (vermelho) e 100 $ (cação).
O conteúdo da matéria é Programação Linear (Linear Programming). A ideia é definir variáveis para cada tipo de peixe, montar função objetivo (receita total) e as restrições, e depois achar a combinação que dá a receita máxima.
Passo 2
Definindo variáveis e montando o modelo:
x₁ = toneladas de badejo
x₂ = toneladas de vermelho
x₃ = toneladas de cação
x₁ = toneladas de badejo
x₂ = toneladas de vermelho
x₃ = toneladas de cação
Função-objetivo (receita em $):
Z = 8 000·x₁ + 9 000·x₂ + 100 000·x₃
(veja que multiplicamos o preço por 1000 kg/ton)
Z = 8 000·x₁ + 9 000·x₂ + 100 000·x₃
(veja que multiplicamos o preço por 1000 kg/ton)
Restrições:
- x₁ ≤ 3000
- x₂ ≤ 1200
- x₃ ≤ 900
- x₁ + x₂ + x₃ ≤ 4600
- x₁ ≤ 2·x₂
- x₁, x₂, x₃ ≥ 0
Passo 3
Estratégia: como queremos maximizar Z, olhamos o “lucro por tonelada” de cada peixe:
– Badejo: $8 000/ton
– Vermelho: $9 000/ton
– Cação: $100 000/ton
– Badejo: $8 000/ton
– Vermelho: $9 000/ton
– Cação: $100 000/ton
O cação é disparado o mais lucrativo, então faz sentido encher até o limite:
x₃ = 900 (até a restrição 3)
x₃ = 900 (até a restrição 3)
Passo 4
Sobram 4600 − 900 = 3700 t na restrição total. Agora entre badejo e vermelho, o vermelho rende mais por tonelada, então saturamos x₂ até seu limite:
x₂ = 1200 (restrição 2)
x₂ = 1200 (restrição 2)
Sobram 3700 − 1200 = 2500 t para o badejo. Mas também temos x₁ ≤ 2·x₂ = 2400 e x₁ ≤ 3000. O mais restritivo é x₁ ≤ 2400. Logo:
x₁ = 2400
x₁ = 2400
Passo 5
Vamos conferir:
x₁ + x₂ + x₃ = 2400 + 1200 + 900 = 4500 ≤ 4600 ✅
Todas as outras restrições estão ok.
x₁ + x₂ + x₃ = 2400 + 1200 + 900 = 4500 ≤ 4600 ✅
Todas as outras restrições estão ok.
Resposta
A programação ótima de pesca é:
2400 t de badejo, 1200 t de vermelho e 900 t de cação.
2400 t de badejo, 1200 t de vermelho e 900 t de cação.