Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que
. Esse problema está ligado à termodinâmica, que estuda as relações entre calor, trabalho e energia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são
e
(capacidades térmicas a pressão e volume constantes),
(a razão das capacidades térmicas), e
e
(módulos de compressibilidade). Vamos passo a passo para ficar tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as capacidades térmicas.
é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma substância em 1 grau Celsius à pressão constante. Já
é a mesma coisa, mas a volume constante. A relação entre elas é conhecida como
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os módulos de compressibilidade. O módulo de compressibilidade
é uma medida de quão resistente um material é à compressão quando submetido a uma pressão. Sob condições adiabáticas (sem troca de calor com o ambiente), temos o módulo de compressibilidade adiabático
. A relação entre
e
também envolve a razão das capacidades térmicas
.
Passo 4
Para conectar essas ideias, vamos usar a relação termodinâmica que liga essas propriedades. Sabemos que:
Isso quer dizer que o módulo de compressibilidade adiabático é igual ao módulo de compressibilidade dividido por
.
Passo 5
Rearranjando a equação acima para isolar
, temos:
E lembrando que
, conseguimos mostrar que:
Resposta
Portanto, demonstramos que
.