Demonstre que:
CpCV=gamma=kkS

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que CpCV = gamma = kkS. Esse problema está ligado à termodinâmica, que estuda as relações entre calor, trabalho e energia. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são Cp e CV (capacidades térmicas a pressão e volume constantes), gamma (a razão das capacidades térmicas), e k e kS (módulos de compressibilidade). Vamos passo a passo para ficar tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as capacidades térmicas. Cp é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma substância em 1 grau Celsius à pressão constante. Já CV é a mesma coisa, mas a volume constante. A relação entre elas é conhecida como gamma = CpCV.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre os módulos de compressibilidade. O módulo de compressibilidade k é uma medida de quão resistente um material é à compressão quando submetido a uma pressão. Sob condições adiabáticas (sem troca de calor com o ambiente), temos o módulo de compressibilidade adiabático kS. A relação entre k e kS também envolve a razão das capacidades térmicas gamma.

Passo 4

Para conectar essas ideias, vamos usar a relação termodinâmica que liga essas propriedades. Sabemos que:
kS = kgamma
Isso quer dizer que o módulo de compressibilidade adiabático é igual ao módulo de compressibilidade dividido por gamma.

Passo 5

Rearranjando a equação acima para isolar gamma, temos:
gamma = kkS
E lembrando que gamma = CpCV, conseguimos mostrar que:
CpCV = gamma = kkS

Resposta

Portanto, demonstramos que CpCV = gamma = kkS.

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