1. f(x)=\frac{1}{2}(x+5)
  2. f(x)=1+4 x-x^{2}
  3. g(x)=|x|
  4. g(x)=\sqrt{x}
  5. f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
  6. f(t) é a sua altura com t anos de idade.

Passo 1

O que o enunciado dá: as seis regras numeradas de 9 a 14:
9.\; f(x)=\tfrac{1}{2}(x+5)
10.\; f(x)=1+4x-x^{2}
11.\; g(x)=|x|
12.\; g(x)=\sqrt{x}
13.\; f(t)\\ \text{é a altura de uma bola \(t\) segundos após ser chutada.}éó
14.\; f(t)\\ \text{é a sua altura com \(t\) anos de idade.}é
O que vou responder para cada item (faça-me companhia): identificar a variável independente e a dependente, analisar o domínio (quais valores a variável independente pode receber) e, quando for simples e útil, comentar a imagem/faixa de valores possíveis da função. Vou explicar passo a passo por que cada domínio é esse, com exemplos bem mastigados para você poder reproduzir na prova.

Passo 2

Item 9: f(x)=\tfrac{1}{2}(x+5).
  • Variáveis: a variável independente é x. A variável dependente é f(x) (a saída da regra).
  • Observação da regra: é uma expressão linear em x, não tem divisão por x, nem raiz par, nem log, nada que restrinja x.
  • Conceito rápido (domínio): o domínio são todos os valores de x para os quais a expressão faz sentido. Aqui qualquer número real funciona.
  • Conclusão do domínio: o domínio é \mathbb{R} (todos os números reais).
  • Imagem (faixa de valores): uma reta com coeficiente angular \tfrac{1}{2} cobre todos os reais. Para ver isso de forma concreta, escrevo y=f(x) e resolvo para x:
y=\tfrac{1}{2}(x+5)\Rightarrow x+5=2y\Rightarrow x=2y-5.
Como para qualquer y\in\mathbb{R} existe x=2y-5, a imagem é \mathbb{R}.

Passo 3

Item 10: f(x)=1+4x-x^{2}.
  • Variáveis: independente x, dependente f(x).
  • Observação da regra: é um polinômio quadrático (não tem divisões, raízes pares de expressão negativa, nem log). Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão do domínio: domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem (faixa): coeficiente de x^{2} é -1 (negativo), então a parábola abre para baixo e tem um valor máximo; podemos achar o vértice para obter esse máximo.
  • Cálculo do vértice: para ax^{2}+bx+c o x-do-vértice é x_v=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=-1, b=4, então
x_v=-\dfrac{4}{2(-1)}=2.
Avalio f(2):
f(2)=1+4\cdot 2-(2)^{2}=1+8-4=5.
  • Conclusão da imagem: como a parábola abre para baixo, o maior valor é 5 e não há limite inferior, então a imagem é (-\infty,\,5].

Passo 4

Item [11): g(x)=|x|.
  • Variáveis: independente x, dependente g(x).
  • Observação da regra: valor absoluto transforma qualquer número em seu valor não negativo. Definição em partes:
|x|=\begin{cases}x,& x\ge 0,\\\\ -x,& x<0.\end{cases}
  • Domínio: a operação |x|\] faz sentido para qualquer \(x\in\mathbb{R}, então o domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem: |x| nunca é negativa; o menor valor possível é 0 (quando x=0), e pode crescer sem limite. Portanto a imagem é [0,\infty).
  • Observação prática: g não é injetora (por exemplo g(2)=g(-2)=2).

Passo 5

Item 12: g(x)=\sqrt{x}.
  • Variáveis: independente x, dependente g(x).
  • Observação da regra (restrição importante): a raiz quadrada \sqrt{x} está definida sobre os números reais somente quando o radicando x é maior ou igual a zero (senão obteríamos número complexo).
  • Conclusão do domínio: x deve satisfazer x\ge 0, então o domínio é [0,\infty).
  • Imagem: \sqrt{x} para x\ge 0 produz valores \ge 0; à medida que x cresce sem limite, \sqrt{x} também cresce sem limite (embora mais devagar). Logo a imagem é [0,\infty).
  • Exemplo concreto: g(0)=0,\; g(4)=2,\; g(0,25)=0,5 — tudo com x\ge0.

Passo 6

Item 13: f(t) é a altura de uma bola t segundos após ser chutada.
  • Variáveis: independente t (tempo, em segundos), dependente f(t) (altura, em unidades de comprimento, por ex. metros).
  • Observação física e domínio: fisicamente faz sentido falar do tempo a partir do instante em que a bola é chutada, então t costuma ser t\ge 0. Além disso, enquanto a bola estiver no ar, a altura será \ge 0; quando a bola toca o chão (ou é apanhada), o modelo costuma terminar. Portanto o domínio realístico é um intervalo
0\le t\le T,
onde T é o tempo de voo (tempo até a bola atingir novamente a altura zero). Sem fórmula ou dados iniciais (velocidade inicial, ângulo, altura inicial) não é possível calcular T. Então só podemos afirmar que o domínio prático é [0,T] com T>0 desconhecido; se estivermos analisando o modelo matemático estendido (por exemplo, a expressão quadrática que descreve a altura é válida para todos t\in\mathbb{R} como expressão algébrica), ainda assim o intervalo fisicamente relevante é t\ge0 até a bola tocar o chão.
  • Observação útil para prova: se a altura for dada por uma função quadrática típica h(t)=h_0+v_0 t-\tfrac{1}{2}gt^{2}, então você poderia achar T resolvendo h(T)=0. Mas aqui não há números, então só podemos afirmar a forma geral do domínio.

Passo 7

Item 14: f(t) é a sua altura com t anos de idade.
  • Variáveis: independente t (idade em anos), dependente f(t) (altura, em metros ou centímetros).
  • Observação prática e domínio: idade começa em t=0. Na prática, há limites físicos de vida e crescimento; um domínio razoável seria t\ge 0, e para enunciados práticos costuma-se restringir a um máximo humano razoável, por exemplo algo como 0\le t\le 120 (ou outro número que o problema peça). Se você só quer a descrição matemática mínima, domínio é [0,\infty), mas para modelagem realista um intervalo fechado [0,\,L] com L igual à expectativa máxima de vida escolhida faz mais sentido.
  • Observação sobre o comportamento: f é uma função (cada idade tem uma única altura associada); não é monotônica em todo o domínio (cresce na infância, estabiliza na idade adulta, pode diminuir levemente na velhice). Também t pode ser tratado como número real (idade em anos e frações) ou como inteiro (idade em anos completos) dependendo do contexto da prova/exame — é importante mencionar qual interpretação o enunciado pede.

Resposta

  1. independente: x; dependente: f(x); domínio: \mathbb{R}; imagem: \mathbb{R}.
  2. independente: x; dependente: f(x); domínio: \mathbb{R}; imagem: (-\infty,\,5].
  3. independente: x; dependente: g(x); domínio: \mathbb{R}; imagem: [0,\infty).
  4. independente: x; dependente: g(x); domínio: [0,\infty); imagem: [0,\infty).
  5. independente: t (segundos); dependente: f(t) altura; domínio prático: 0\le t\le T onde T>0 é o tempo de voo (desconhecido sem dados); fisicamente t\ge0.
  6. independente: t (anos); dependente: f(t) altura; domínio prático: t\ge0 (ou um intervalo realista como 0\le t\le 120); a interpretação (reais ou inteiros) depende do contexto.

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