Um pequeno reservatório contém água (massa específica de
) com uma profundidade inicial
. O diâmetro do reservatório é
. Um furo com diâmetro
aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à
. Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
- Cálculo da força hidrostática no furo;
- Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
- Cálculo da vazão do escoamento no furo;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Massa específica da água:
. - Profundidade inicial do reservatório:
. - Diâmetro do reservatório:
. - Diâmetro do furo no fundo:
. - Aceleração da gravidade:
.
O enunciado sugere estes passos para estimar o tempo de esvaziamento:
- Cálculo da força hidrostática no furo;
- Cálculo da velocidade do escoamento no furo (usando pressão hidrostática média e escoamento permanente);
- Cálculo da vazão e, a partir dela, do tempo de esvaziamento.
O objetivo final que vou calcular é o tempo aproximado para esvaziar o reservatório usando essas hipóteses.
Passo 2
Conversão de unidades e cálculo das áreas (passo obrigatório para prosseguir).
Converter profundidade para metros:
Converter diâmetros para metros:
Área da seção do reservatório (cilíndrica), onde
é a área da base:
Calculemos:
Área do furo, onde
é a área do orifício:
Calculemos:
Passo 3
Cálculo da pressão hidrostática média no furo e da força hidrostática sobre o furo.
Explicação do conceito: a pressão hidrostática a uma profundidade
é dada por
. Como o enunciado pede usar a pressão hidrostática média (média ao longo da profundidade do volume de água), a profundidade média é
. Portanto a pressão média sobre o furo vale
Aqui:
-
é a massa específica do fluido ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é a profundidade inicial ( ).
Substituindo os números:
A força hidrostática sobre a área do furo é o produto pressão × área:
Substituindo:
Interpretação rápida: a força é muito pequena porque o furo é extremamente pequeno.
Passo 4
Cálculo da velocidade do escoamento no furo usando Bernoulli simplificado com a pressão média.
Explicação do conceito e fórmula usada:
- Bernoulli relaciona energia por unidade de volume entre dois pontos de um fluido ideal. Para um orifício no fundo, uma forma prática é usar a diferença de pressão para obter a velocidade:
(usando pressão efetiva convertida em energia dinâmica). Assim
onde:
-
é a velocidade de escoamento no orifício ( ); -
é a pressão efetiva que acelera o fluido ( ); -
é a massa específica ( ).
Aqui usamos
. Substituindo isso em
:
Isso é uma consequência simples: com pressão média
obtemos
.
Agora calcule numericamente:
Comentário: compare com a fórmula de Torricelli
(quando se toma a altura total
como cabeça estática): usando a cabeça total
daria
, que é cerca de
vezes maior. Nós, no método sugerido, usamos a pressão média e assumimos escoamento permanente, daí o fator diferente.
Passo 5
Cálculo da vazão volumétrica
no furo.
Fórmula:
onde:
-
é a vazão volumétrica ( ); -
é a área do furo ( ); -
é a velocidade no furo ( ).
Substituindo os valores numéricos:
Comentário didático: em escoamentos reais por orifício costuma-se usar um coeficiente de descarga
(devido a contração do jato e perdas), mas o enunciado não pediu esse ajuste; portanto usei
. Se quisesse maior precisão, multiplicar
por um
típico (por ex.
-
) reduziria ainda mais a vazão e aumentaria o tempo.
Passo 6
Cálculo do volume inicial do reservatório e do tempo de esvaziamento aproximado.
Volume inicial do reservatório (cilíndrico):
Substituindo:
Tempo de esvaziamento aproximado
, assumindo vazão constante
(hipótese de escoamento permanente):
Substituindo os números:
Converter para horas e dias para interpretar:
Passo 7
Resumo das hipóteses, interpretação e pequenos conselhos para prova.
- Hipóteses usadas: pressão hidrostática média (
), escoamento permanente (v constante), coeficiente de descarga . Essas hipóteses simplificam bastante a conta e dão uma estimativa rápida. - Se na prova pedirem mais refinamento, pode-se:
- usar Torricelli e integrar
com a equação diferencial do esvaziamento (método mais preciso, dá tempo menor que o encontrado aqui); - considerar um coeficiente de descarga
típico (0,6–0,8) para orifícios reais; isso multiplicaria o tempo por (ou seja, aumentaria o tempo).
- usar Torricelli e integrar
- Motivação: o furo é muito pequeno em comparação com a base do reservatório, por isso a vazão é pequena e o esvaziamento demora dias.