Um pequeno reservatório contém água (massa específica de 999 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) com uma profundidade inicial y_{0}=34,5 \mathrm{~cm}. O diâmetro do reservatório é D=9,5 \mathrm{~cm}. Um furo com diâmetro d=0,08 \mathrm{~mm} aparece no fundo do reservatório. Use aceleração da gravidade igual à 9,78 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Uma solução aceitável para estimar o tempo de esvaziamento do reservatório é utilizar os seguintes passos, considerando pressão hidrostática média e escoamento permanente:
  • Cálculo da força hidrostática no furo;
  • Cálculo da velocidade do escoamento no furo;
  • Cálculo da vazão do escoamento no furo;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Massa específica da água: \rho=999\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Profundidade inicial do reservatório: y_{0}=34,5\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro do reservatório: D=9,5\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro do furo no fundo: d=0,08\\ \mathrm{mm}.
  • Aceleração da gravidade: g=9,78\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado sugere estes passos para estimar o tempo de esvaziamento:
  • Cálculo da força hidrostática no furo;
  • Cálculo da velocidade do escoamento no furo (usando pressão hidrostática média e escoamento permanente);
  • Cálculo da vazão e, a partir dela, do tempo de esvaziamento.
O objetivo final que vou calcular é o tempo aproximado para esvaziar o reservatório usando essas hipóteses.

Passo 2

Conversão de unidades e cálculo das áreas (passo obrigatório para prosseguir).
Converter profundidade para metros:
y_{0}=34,5\\ \mathrm{cm}=0,345\\ \mathrm{m}.
Converter diâmetros para metros:
D=9,5\\ \mathrm{cm}=0,095\\ \mathrm{m},\qquad d=0,08\\ \mathrm{mm}=0,00008\\ \mathrm{m}.
Área da seção do reservatório (cilíndrica), onde A_{\text{res}} é a área da base:
A_{\text{res}}=\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}.
Calculemos:
\left(\dfrac{D}{2}\right)=0,0475\\ \mathrm{m},\qquad A_{\text{res}}=\pi\cdot(0,0475)^{2}\approx0,007088\\ \mathrm{m^{2}}.
Área do furo, onde A_{h} é a área do orifício:
A_{h}=\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}.
Calculemos:
\left(\dfrac{d}{2}\right)=0,00004\\ \mathrm{m},\qquad A_{h}=\pi\cdot(0,00004)^{2}\approx5,0265\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Cálculo da pressão hidrostática média no furo e da força hidrostática sobre o furo.
Explicação do conceito: a pressão hidrostática a uma profundidade y é dada por \,p=\rho g y\,. Como o enunciado pede usar a pressão hidrostática média (média ao longo da profundidade do volume de água), a profundidade média é y_{0}/2. Portanto a pressão média sobre o furo vale
p_{\text{média}}=\rho g \left(\dfrac{y_{0}}{2}\right).é
Aqui:
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • y_{0} é a profundidade inicial ( \mathrm{m}).
Substituindo os números:
p_{\text{média}}=999\cdot 9,78\cdot\left(\dfrac{0,345}{2}\right) =999\cdot 9,78\cdot 0,1725\approx1685,36\\ \mathrm{Pa}.é
A força hidrostática sobre a área do furo é o produto pressão × área:
F=p_{\text{média}}\;A_{h}.é
Substituindo:
F\approx1685,36\\ \mathrm{Pa}\times 5,0265\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}} \approx8,47\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: a força é muito pequena porque o furo é extremamente pequeno.

Passo 4

Cálculo da velocidade do escoamento no furo usando Bernoulli simplificado com a pressão média.
Explicação do conceito e fórmula usada:
  • Bernoulli relaciona energia por unidade de volume entre dois pontos de um fluido ideal. Para um orifício no fundo, uma forma prática é usar a diferença de pressão para obter a velocidade: \, \dfrac{1}{2}\rho v^{2}=p \, (usando pressão efetiva convertida em energia dinâmica). Assim
v=\sqrt{\dfrac{2\,p}{\rho}},
onde:
  • v é a velocidade de escoamento no orifício ( \mathrm{m/s});
  • p é a pressão efetiva que acelera o fluido ( \mathrm{Pa});
  • \rho é a massa específica ( \mathrm{kg/m^{3}}).
Aqui usamos p=p_{\text{média}}=\rho g \dfrac{y_{0}}{2}é. Substituindo isso em v:
v=\sqrt{\dfrac{2\,\rho g (y_{0}/2)}{\rho}}=\sqrt{g\,y_{0}}.
Isso é uma consequência simples: com pressão média \rho g (y_{0}/2) obtemos v=\sqrt{g y_{0}}.
Agora calcule numericamente:
v=\sqrt{9,78\cdot 0,345}=\sqrt{3,37309}\approx1,837\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: compare com a fórmula de Torricelli v=\sqrt{2 g h} (quando se toma a altura total h como cabeça estática): usando a cabeça total h=y_{0} daria v=\sqrt{2 g y_{0}}, que é cerca de \sqrt{2} vezes maior. Nós, no método sugerido, usamos a pressão média e assumimos escoamento permanente, daí o fator diferente.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica Q no furo.
Fórmula:
Q=A_{h}\,v,
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s});
  • A_{h} é a área do furo ( \mathrm{m^{2}});
  • v é a velocidade no furo ( \mathrm{m/s}).
Substituindo os valores numéricos:
Q\approx 5,0265\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}\times 1,837\\ \mathrm{m/s} \approx9,23\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Comentário didático: em escoamentos reais por orifício costuma-se usar um coeficiente de descarga C_{d}<1 (devido a contração do jato e perdas), mas o enunciado não pediu esse ajuste; portanto usei C_{d}=1. Se quisesse maior precisão, multiplicar Q por um C_{d} típico (por ex. 0,6- 0,8) reduziria ainda mais a vazão e aumentaria o tempo.

Passo 6

Cálculo do volume inicial do reservatório e do tempo de esvaziamento aproximado.
Volume inicial do reservatório (cilíndrico):
V_{0}=A_{\text{res}}\;y_{0}.
Substituindo:
V_{0}\approx0,007088\\ \mathrm{m^{2}}\times 0,345\\ \mathrm{m}\approx2,445\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Tempo de esvaziamento aproximado t, assumindo vazão constante Q (hipótese de escoamento permanente):
t=\dfrac{V_{0}}{Q}.
Substituindo os números:
t\approx\dfrac{2,445\times10^{-3}}{9,23\times10^{-9}}\approx2,65\times10^{5}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas e dias para interpretar:
t\approx2,65\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx \dfrac{2,65\times10^{5}}{3600}\\ \mathrm{h}\approx73,5\\ \mathrm{h}\approx3,06\\ \text{dias}.

Passo 7

Resumo das hipóteses, interpretação e pequenos conselhos para prova.
  • Hipóteses usadas: pressão hidrostática média ( p_{\text{média}}=\rho g y_{0}/2é), escoamento permanente (v constante), coeficiente de descarga C_{d}=1. Essas hipóteses simplificam bastante a conta e dão uma estimativa rápida.
  • Se na prova pedirem mais refinamento, pode-se:
    • usar Torricelli e integrar v=\sqrt{2 g y} com a equação diferencial do esvaziamento (método mais preciso, dá tempo menor que o encontrado aqui);
    • considerar um coeficiente de descarga C_{d} típico (0,6–0,8) para orifícios reais; isso multiplicaria o tempo por 1/C_{d} (ou seja, aumentaria o tempo).
  • Motivação: o furo é muito pequeno em comparação com a base do reservatório, por isso a vazão é pequena e o esvaziamento demora dias.

Resposta

t\approx2,65\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx73,5\\ \mathrm{h}\approx3,06\\ \text{dias}

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