Um tanque contém água com uma profundidade inicial
. O diâmetro do tanque é
mm . Um furo com diâmetro
aparece no fundo do tanque. Um modelo aceitável para o nível de água em função do tempo é:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial para a altura da água no tanque e alguns dados numéricos. Vou listar claramente o que foi dado e o que o problema pede.
-
Dados fornecidos:
- Profundidade inicial:
. - Diâmetro do tanque:
. - Diâmetro do furo:
. - Aceleração da gravidade:
(usar ). - Equação diferencial:
- Profundidade inicial:
-
O que o problema pede (implícito pelo enunciado habitual deste tipo de questão):
- Determinar a expressão explícita de
, a altura da água em função do tempo. - Determinar o tempo de esvaziamento
(tempo até atingir zero).
- Determinar a expressão explícita de
Obs.: os diâmetros foram fornecidos em milímetros; para trabalhar com
em
é preciso converter para metros.
Passo 2
Converter unidades e calcular o fator geométrico. Vou converter os diâmetros para metros e calcular
.
- Conversões:
- Calcular o quadrado da razão:
Defino uma constante conveniente que aparece na ODE:
Aqui
tem unidades de
multiplicado por
, de modo que
tem unidades de
(compatível com
).
Passo 3
Reescrever a ODE usando
e preparar para separação de variáveis.
A equação fica
com
Explicação didática (separação de variáveis):
- A equação é do tipo
dependendo só de . Podemos separar variáveis e integrar: - A razão para fazer isso é que queremos integrar
do lado esquerdo e do lado direito para obter como função de .
Passo 4
Integrar ambos os lados passo a passo e usar a condição inicial.
- Integral do lado esquerdo:
onde é constante de integração. - Integral do lado direito:
- Igualando as integrais (absorvendo constantes) obtemos
- Usar a condição inicial
para determinar : - Portanto
- Isolando
: - Elevando ao quadrado (lembrando que a raiz quadrada é não-negativa, então a expressão só vale enquanto o lado direito for
):
Este é o resultado analítico geral; resta calcular numericamente
para obter a forma numérica.
Passo 5
Calcular numericamente
e escrever
com números.
- Calcular
: - Lembrando
, então - Assim
- Substituindo
na expressão de : onde está em segundos e em metros. - Observação prática: a fórmula vale enquanto o termo dentro do parêntese for não-negativo, isto é, até o tempo de esvaziamento.
Passo 6
Determinar o tempo de esvaziamento
(quando
).
- Pôr
na fórmula dá - Com
e : - Converter para horas/minutos/segundos:
Passo 7
Resumo físico e verificação rápida (motivacional e prático).
- A solução é linear na raiz quadrada de
: a raiz decresce linearmente no tempo até zero. Isso é típico para escoamento por orifício pequeno onde velocidade é proporcional à . - Verificação rápida: para
a fórmula dá . Para dá . Para um tempo intermediário, por exemplo , calcula-se ou seja, faz sentido físico (altura decrescendo gradualmente).
Resposta
Numericamente:
Tempo de esvaziamento: