Ex 3.47) Para maximizar a produção e minimizar os custos de bombeamento, o petróleo bruto é aquecido para reduzir sua viscosidade durante o transporte de um campo de produção.
(b) Propõe-se melhorar o desempenho do dispositivo pipe-in-pipe substituindo uma seção fina \left(\mathrm{t}_{\mathrm{a}}=5 \mathrm{~mm}\right) de poliuretano localizada na parte externa do tubo interno por um material isolante de aerogel ( \mathrm{k}_{\mathrm{a}}=0,012 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). Determine a temperatura máxima permitida do petróleo bruto para garantir que a temperatura máxima do poliuretano esteja abaixo de \mathrm{T}_{\mathrm{p}, \max }=70^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura máxima permitida do petróleo bruto (vou chamar de \,T_{\text{oil,max}}\,) de modo que a temperatura máxima do poliuretano fique abaixo de \,T_{p,\max}=70^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Há uma seção fina de poliuretano com espessura \,t_a=5\\ \mathrm{mm} localizada na parte externa do tubo interno.
  • Propõe-se substituir essa seção por aerogel com condutividade térmica \,k_a=0{,}012\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura máxima admissível do poliuretano: \,T_{p,\max}=70^\circ\mathrm{C}.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico:
  • Temperatura ambiente externa ou temperatura do fluido/solo em contato externo ( \,T_\infty\,).
  • Coeficientes de convecção térmica interno e externo ( \,h_i e \,h_o), ou condições de contato térmico.
  • Geometrias (raios/diâmetros): raio interno do tubo, raio externo do tubo metálico, raios da camada de poliuretano antes/ depois, etc. Em particular é preciso conhecer o raio onde a camada de poliuretano começa e termina (ou o raio externo do tubo interno).
  • Condutividade térmica do poliuretano original ( \,k_{poly}), caso ainda exista poliuretano em outras regiões que devam ser consideradas.
  • Propriedades e espessuras de outras camadas (parede do tubo metálico, outras isolantes) se existirem.
  • Comprimento L considerado (normalmente trabalha-se com resistência por unidade de comprimento, mas é preciso consistência nas unidades).
Observação importante: sem esses dados geométricos e de contatos térmicos não é possível calcular numericamente \,T_{\text{oil,max}}\,. Abaixo eu explico passo a passo o procedimento físico-matemático completo para que, assim que esses dados estiverem disponíveis, você aplique direto na prova.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicação didática)
  • Estamos no regime estacionário e assumimos condução radial unidimensional na direção radial (bom quando o comprimento é muito maior que espessuras).
  • O circuito térmico entre o óleo (mais quente) e o ambiente externo é uma série de resistências térmicas: convecção interna (óleo → parede interna do tubo), condução através da parede do tubo metálico, condução através das camadas de isolamento (poliuretano, aerogel, etc.) e convecção externa (parede externa → ambiente).
  • Em regime estacionário a taxa de calor por unidade de comprimento (ou por unidade de área, conforme escolha) é fixa. Vou trabalhar por unidade de comprimento do tubo: nomearei a taxa de calor por unidade de comprimento como \,q' (unidade: \mathrm{W/m}).
  • A máxima temperatura no poliuretano, quando o óleo é a fonte de calor, ocorre na face mais interna dessa camada (a face voltada para o lado do óleo) — pois a temperatura decresce radialmente do óleo para fora. Portanto, controlar a temperatura máxima do poliuretano equivale a limitar a temperatura na sua superfície interna.

Passo 3

Fórmulas das resistências térmicas (aula rápida)
  • Convecção externa ou interna (resistência por unidade de comprimento):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot A}=\frac{1}{h\cdot (2\pi r)}
onde:
  • \,h\, é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W/(m^2\! \cdot K)}),
  • \,r\, é o raio da superfície considerada (em metros),
  • essa expressão é por unidade de comprimento (ou seja, \mathrm{W^{-1} \, m}).
  • Condução steady em casca cilíndrica (por unidade de comprimento):
R_{\text{cond, cil}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k}
onde:
  • \,r_1\, e \,r_2\, são os raios interno e externo da casca cilíndrica,
  • \,k\, é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
Explicação do que cada resistência representa no nosso circuito:
  • R_{i}=\dfrac{1}{h_i 2\pi r_i} : convecção óleo → parede interna do tubo (usar raio interno do tubo \,r_i).
  • R_{\text{pipe}}=\dfrac{\ln(r_{p,o}/r_{p,i})}{2\pi k_{\text{pipe}}} : condução pela parede metálica do tubo entre raios r_{p,i} e r_{p,o}.
  • Para a camada de poliuretano (se ainda estiver presente em alguma região): R_{poly}=\dfrac{\ln(r_{poly,o}/r_{poly,i})}{2\pi k_{poly}}.
  • Para a seção fina substituída por aerogel: R_{aerogel}=\dfrac{\ln(r_{aerogel,o}/r_{aerogel,i})}{2\pi k_a}, com k_a=0{,}012\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • R_{o}=\dfrac{1}{h_o 2\pi r_o} : convecção externa do lado de fora (usar raio externo do conjunto \,r_o).
A resistência total por unidade de comprimento será a soma:
R_{\text{tot}}=R_{i}+R_{\text{pipe}}+R_{\text{insulações}}\;+\;R_{o}çõ
onde \,R_{\text{insulações}}\,çõ é a soma das resistências das camadas isolantes (poliuretano, aerogel, etc.), cada uma usando a fórmula de casca cilíndrica.

Passo 4

Expressões para temperaturas e derivação da condição para \,T_{\text{oil,max}}\,
  • A diferença de temperatura entre o óleo e o ambiente é dada por:
T_{\text{oil}}-T_\infty = q'\,R_{\text{tot}}.
Logo
q'=\frac{T_{\text{oil}}-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.
  • A temperatura na face interna da camada de poliuretano (a qual queremos limitar) está antes de parte da resistência total. Se chamarmos de R_{\text{before}} a resistência acumulada entre o óleo e a face interna do poliuretano (por exemplo, R_{\text{before}}=R_i+R_{\text{pipe}}, assumindo que a face interna do poliuretano está imediatamente sobre a superfície externa do tubo), então a queda de temperatura entre o óleo e essa face é:
T_{\text{oil}}-T_{p,\text{inner}} = q'\,R_{\text{before}}.
Portanto
T_{p,\text{inner}} = T_{\text{oil}} - q'\,R_{\text{before}}.
  • Substituindo q' obtemos:
T_{p,\text{inner}} = T_{\text{oil}} - \frac{T_{\text{oil}}-T_\infty}{R_{\text{tot}}}\,R_{\text{before}}.
  • Impor a condição de segurança \,T_{p,\text{inner}}\le T_{p,\max}\, e resolver para \,T_{\text{oil}}\,:
T_{\text{oil}} - \frac{T_{\text{oil}}-T_\infty}{R_{\text{tot}}}\,R_{\text{before}} \le T_{p,\max}.
Fazendo álgebra:
T_{\text{oil}}\!\left(1-\frac{R_{\text{before}}}{R_{\text{tot}}}\right) + T_\infty\frac{R_{\text{before}}}{R_{\text{tot}}} \le T_{p,\max}.
Isolando \,T_{\text{oil}}\,:
T_{\text{oil}} \le \frac{T_{p,\max}\,R_{\text{tot}} - T_\infty\,R_{\text{before}}}{R_{\text{tot}}-R_{\text{before}}}.
Esta é a expressão geral que dá a temperatura máxima do óleo em função das resistências térmicas do sistema e da temperatura ambiente. Note que todas as resistências são por unidade de comprimento (ou todas multiplicadas por L — o comprimento cancela na razão).

Passo 5

Como aplicar na prática (passo-a-passo operacional para a prova)
  1. Identifique geometricamente os raios:
    • r_i (raio interno do tubo, superfície do fluido),
    • r_{p,i} e r_{p,o} (raios do tubo metálico),
    • raios das camadas de isolamento; para uma camada de espessura \,t com raio interno r tem-se raio externo r+t.
  2. Calcule cada resistência usando as fórmulas: R_i=\frac{1}{h_i 2\pi r_i},\qquad R_{\text{pipe}}=\frac{\ln(r_{p,o}/r_{p,i})}{2\pi k_{\text{pipe}}},\qquad R_{\text{layer}}=\frac{\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k_{\text{layer}}},\qquad R_{o}=\frac{1}{h_o 2\pi r_o}.
  3. Some para obter R_{\text{before}} (resistências entre o óleo e a face interna do poliuretano) e R_{\text{tot}} (toda a cadeia até o ambiente).
  4. Use a fórmula final: T_{\text{oil,max}}=\frac{T_{p,\max}\,R_{\text{tot}} - T_\infty\,R_{\text{before}}}{R_{\text{tot}}-R_{\text{before}}}.e calcule numericamente.
  5. Verifique unidades e coerência (temperaturas em °C ou K; diferenças de temperatura equivalem em ambas as escalas).
  6. Observação: se houver variabilidade do coeficiente de convecção com a temperatura, pode ser necessário iterar (usar um valor inicial de h, calcular temperaturas, atualizar h e repetir). Em muitos problemas de prova usa-se h dado constante.

Passo 6

Resumo e conclusão (motivação e incentivo)
  • Consegui apresentar a teoria completa, as fórmulas e a expressão final que permite calcular \,T_{\text{oil,max}}\, assim que todos os dados estiverem disponíveis.
  • Entretanto, com os dados fornecidos no enunciado que você me enviou (apenas \,t_a=5\\ \mathrm{mm}, \,k_a=0{,}012\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e \,T_{p,\max}=70^\circ\mathrm{C}) não dá para obter um valor numérico de \,T_{\text{oil,max}}\, porque faltam os parâmetros essenciais listados no Passo 1.
  • Se você quiser, me envie os valores faltantes (ou confirme se há figuras/valores no enunciado original que você não copiou) e eu calculo passo a passo o número final rapidinho. Vamos conseguir isso juntos — você já tem a receita, falta só temperar com os números! 😃

Resposta

Não é possível determinar numericamente \,T_{\text{oil,max}}\, com os dados fornecidos; é necessário informar \,T_\infty, os coeficientes de convecção \,h_i e \,h_o, as geometrias (raios) e as condutividades/espessuras das demais camadas para aplicar a fórmula
T_{\text{oil,max}}=\frac{T_{p,\max}\,R_{\text{tot}} - T_\infty\,R_{\text{before}}}{R_{\text{tot}}-R_{\text{before}}}.

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