Ex 3.47) Para maximizar a produção e minimizar os custos de bombeamento, o petróleo bruto é aquecido para reduzir sua viscosidade durante o transporte de um campo de produção.
(b) Propõe-se melhorar o desempenho do dispositivo pipe-in-pipe substituindo uma seção fina
de poliuretano localizada na parte externa do tubo interno por um material isolante de aerogel (
). Determine a temperatura máxima permitida do petróleo bruto para garantir que a temperatura máxima do poliuretano esteja abaixo de
.
(b) Propõe-se melhorar o desempenho do dispositivo pipe-in-pipe substituindo uma seção fina
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a temperatura máxima permitida do petróleo bruto (vou chamar de
) de modo que a temperatura máxima do poliuretano fique abaixo de .
Informações fornecidas no enunciado:
- Há uma seção fina de poliuretano com espessura
localizada na parte externa do tubo interno. - Propõe-se substituir essa seção por aerogel com condutividade térmica
. - Temperatura máxima admissível do poliuretano:
.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico:
- Temperatura ambiente externa ou temperatura do fluido/solo em contato externo (
). - Coeficientes de convecção térmica interno e externo (
e ), ou condições de contato térmico. - Geometrias (raios/diâmetros): raio interno do tubo, raio externo do tubo metálico, raios da camada de poliuretano antes/ depois, etc. Em particular é preciso conhecer o raio onde a camada de poliuretano começa e termina (ou o raio externo do tubo interno).
- Condutividade térmica do poliuretano original (
), caso ainda exista poliuretano em outras regiões que devam ser consideradas. - Propriedades e espessuras de outras camadas (parede do tubo metálico, outras isolantes) se existirem.
- Comprimento
considerado (normalmente trabalha-se com resistência por unidade de comprimento, mas é preciso consistência nas unidades).
Observação importante: sem esses dados geométricos e de contatos térmicos não é possível calcular numericamente
. Abaixo eu explico passo a passo o procedimento físico-matemático completo para que, assim que esses dados estiverem disponíveis, você aplique direto na prova.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (explicação didática)
- Estamos no regime estacionário e assumimos condução radial unidimensional na direção radial (bom quando o comprimento é muito maior que espessuras).
- O circuito térmico entre o óleo (mais quente) e o ambiente externo é uma série de resistências térmicas: convecção interna (óleo → parede interna do tubo), condução através da parede do tubo metálico, condução através das camadas de isolamento (poliuretano, aerogel, etc.) e convecção externa (parede externa → ambiente).
- Em regime estacionário a taxa de calor por unidade de comprimento (ou por unidade de área, conforme escolha) é fixa. Vou trabalhar por unidade de comprimento do tubo: nomearei a taxa de calor por unidade de comprimento como
(unidade: ). - A máxima temperatura no poliuretano, quando o óleo é a fonte de calor, ocorre na face mais interna dessa camada (a face voltada para o lado do óleo) — pois a temperatura decresce radialmente do óleo para fora. Portanto, controlar a temperatura máxima do poliuretano equivale a limitar a temperatura na sua superfície interna.
Passo 3
Fórmulas das resistências térmicas (aula rápida)
- Convecção externa ou interna (resistência por unidade de comprimento):
onde:
-
é o coeficiente de convecção ( ), -
é o raio da superfície considerada (em metros), -
essa expressão é por unidade de comprimento (ou seja,
). -
Condução steady em casca cilíndrica (por unidade de comprimento):
onde:
-
e são os raios interno e externo da casca cilíndrica, -
é a condutividade térmica do material ( ).
Explicação do que cada resistência representa no nosso circuito:
-
: convecção óleo → parede interna do tubo (usar raio interno do tubo ). -
: condução pela parede metálica do tubo entre raios e . - Para a camada de poliuretano (se ainda estiver presente em alguma região):
. - Para a seção fina substituída por aerogel:
, com . -
: convecção externa do lado de fora (usar raio externo do conjunto ).
A resistência total por unidade de comprimento será a soma:
onde
é a soma das resistências das camadas isolantes (poliuretano, aerogel, etc.), cada uma usando a fórmula de casca cilíndrica.
Passo 4
Expressões para temperaturas e derivação da condição para
- A diferença de temperatura entre o óleo e o ambiente é dada por:
Logo
- A temperatura na face interna da camada de poliuretano (a qual queremos limitar) está antes de parte da resistência total. Se chamarmos de
a resistência acumulada entre o óleo e a face interna do poliuretano (por exemplo, , assumindo que a face interna do poliuretano está imediatamente sobre a superfície externa do tubo), então a queda de temperatura entre o óleo e essa face é:
Portanto
- Substituindo
obtemos:
- Impor a condição de segurança
e resolver para :
Fazendo álgebra:
Isolando
:
Esta é a expressão geral que dá a temperatura máxima do óleo em função das resistências térmicas do sistema e da temperatura ambiente. Note que todas as resistências são por unidade de comprimento (ou todas multiplicadas por
— o comprimento cancela na razão).
Passo 5
Como aplicar na prática (passo-a-passo operacional para a prova)
- Identifique geometricamente os raios:
-
(raio interno do tubo, superfície do fluido), -
e (raios do tubo metálico), - raios das camadas de isolamento; para uma camada de espessura
com raio interno tem-se raio externo .
-
- Calcule cada resistência usando as fórmulas:
- Some para obter
(resistências entre o óleo e a face interna do poliuretano) e (toda a cadeia até o ambiente). - Use a fórmula final:
e calcule numericamente. - Verifique unidades e coerência (temperaturas em °C ou K; diferenças de temperatura equivalem em ambas as escalas).
- Observação: se houver variabilidade do coeficiente de convecção com a temperatura, pode ser necessário iterar (usar um valor inicial de
, calcular temperaturas, atualizar e repetir). Em muitos problemas de prova usa-se dado constante.
Passo 6
Resumo e conclusão (motivação e incentivo)
- Consegui apresentar a teoria completa, as fórmulas e a expressão final que permite calcular
assim que todos os dados estiverem disponíveis. - Entretanto, com os dados fornecidos no enunciado que você me enviou (apenas
, e ) não dá para obter um valor numérico de porque faltam os parâmetros essenciais listados no Passo 1. - Se você quiser, me envie os valores faltantes (ou confirme se há figuras/valores no enunciado original que você não copiou) e eu calculo passo a passo o número final rapidinho. Vamos conseguir isso juntos — você já tem a receita, falta só temperar com os números! 😃
Resposta
Não é possível determinar numericamente
com os dados fornecidos; é necessário informar
, os coeficientes de convecção
e
, as geometrias (raios) e as condutividades/espessuras das demais camadas para aplicar a fórmula