Um perfil de solo é composto por uma camada de aterro arenoso sobre uma camada de argila mole, seguida por uma camada de areia densa. O nível d’água
(NA) está localizado no topo da camada de argila mole. Desenhe os perfis de tensões totais, efetivas e neutras na superfície do terreno, na interface entre o aterro arenoso e a argila mole (posição do NA), na interface entre a argila mole e a areia densa e a 3,5 \mathrm{~m} de profundidade dentro da camada de areia densa (ou seja, a 10 m da superfície).
Considere:
  • \gamma \mathrm{w}=10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
  • Camada 1 - Aterro Arenoso
Espessura: 2,5 \mathrm{~m}
Peso específico natural ( \gamma nat): 17,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
Peso específico saturado ( \gamma sat): 19,0 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} (para o caso de o NA subir)
  • Camada 2 - Argila Mole
Espessura: 4,0 \mathrm{~m}
Peso específico saturado ( \gamma sat): 18,2 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
  • Camada 3 - Areia Densa
Espessura: Considerada muito espessa (analisar até 3,5 \mathrm{~m} dentro desta camada)
Peso específico saturado ( \gamma sat): 20,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos\n
  • Pede: desenhar (ou descrever numericamente) os perfis de tensão total, tensão neutra (pressão de poros) e tensão efetiva nos pontos: superfície do terreno, interface aterro/argila (posição do NA), interface argila/areia e a 3,5\\ \mathrm{m} dentro da areia densa (ou seja, a 10{,}0\\ \mathrm{m} da superfície).\n
  • Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):\n
    • \gamma_w = 10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.\n
    • Camada 1 — Aterro arenoso: espessura 2{,}5\\ \mathrm{m}, \gamma_{\text{nat}} = 17{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 (estado natural, acima do NA). Valor saturado \gamma_{\text{sat}} = 19{,}0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 (informação só para caso o NA suba — aqui não usaremos esse \gamma_{\text{sat}} porque o NA está na base da argila).\n
    • Camada 2 — Argila mole: espessura 4{,}0\\ \mathrm{m}, \gamma_{\text{sat}} = 18{,}2\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.\n
    • Camada 3 — Areia densa: considerar espessa; usar até 3{,}5\\ \mathrm{m} dentro dela; \gamma_{\text{sat}} = 20{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.\n
  • Localização do NA: o nível d’água está no topo da camada de argila mole, ou seja, na profundidade 2{,}5\\ \mathrm{m} a partir da superfície.\n
  • Pontos a avaliar (com profundidades):\n
    1. Superfície: 0{,}0\\ \mathrm{m}.\n
    2. Interface aterro/argila (posição do NA): 2{,}5\\ \mathrm{m}.\n
    3. Interface argila/areia: 2{,}5 + 4{,}0 = 6{,}5\\ \mathrm{m}.\n
    4. A 3{,}5\\ \mathrm{m} dentro da areia densa: 6{,}5 + 3{,}5 = 10{,}0\\ \mathrm{m}.\n

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, passo a passo)\n
  • Tensão vertical total ou tensão total \sigma_v: é simplesmente o peso das camadas sobre a unidade de área até a profundidade considerada. Em prática, somamos para cada camada a espessura multiplicada pelo seu peso específico (densidade em kN/m ^3). Fórmula curta:\n
    \sigma_v(z)=\displaystyle\sum_{i\\ \text{acima de }z} \gamma_i\cdot h_i,\n
    onde \gamma_i é o peso específico (em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3) da porção i que está acima da profundidade z, e h_i é a espessura dessa porção (em \mathrm{m}). Cada termo \gamma_i h_i tem unidade \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 (que é o mesmo que kPa).\n
  • Pressão de poros (tensão neutra) u: é a pressão exercida pela coluna d’água. Acima do NA a água não transmite pressão hidrostática (em problema típico consideramos u=0 acima do NA). Abaixo do NA, para uma profundidade z (medida a partir da superfície) e com NA em z_{NA}, a pressão de poros é\n u(z)=\gamma_w\cdot (z - z_{NA}) \quad\text{para } z>z_{NA},\ne u(z)=0 para z\le z_{NA}. Aqui \gamma_w é o peso específico da água ( 10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 no enunciado).\n
  • Tensão efetiva \sigma': é o que realmente “vai comprimir” o solo e controlar resistência, dado por\n \sigma'(z)=\sigma_v(z)-u(z).\nEm palavras: tensão total menos pressão de poros.\n
  • Observação prática importante para desenhar perfis: as três curvas têm chaves diferenças de inclinação nas interfaces:\n
    • A curva de \sigma_v cresce com a inclinação local igual ao \gamma da camada (mais íngreme se a camada é mais pesada).\n
    • A curva de u é zero acima do NA; abaixo do NA sobe linear com inclinação \gamma_w (= 10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3).\n
    • A curva de \sigma' tem inclinação igual a \gamma acima do NA (porque u=0 aí) e igual a \gamma-\gamma_w abaixo do NA (porque \sigma'=(\text{acumulação de }\gamma)-\gamma_w(z-z_{NA})çã).\n
  • Vamos aplicar essas fórmulas em cada profundidade pedida, somando camada por camada e subtraindo a pressão de poros quando for abaixo do NA. Vou fazer as contas com números ao longo dos passos, explicando cada termo.

Passo 3

Cálculo no ponto 1 — Superfície ( 0{,}0\\ \mathrm{m})\n
  • Tensão total: nada acima, então\n
    \sigma_v(0{,}0)=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
  • Pressão de poros: estamos acima do NA ( 0{,}0\le 2{,}5), então\n
    u(0{,}0)=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
  • Tensão efetiva:\n
    \sigma'(0{,}0)=\sigma_v(0{,}0)-u(0{,}0)=0-0=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n

Passo 4

Cálculo no ponto 2 — Interface aterro/argila (posição do NA) em 2{,}5\\ \mathrm{m}\n
  • Aqui estamos exatamente na base da camada 1; usamos o peso natural da camada 1 até essa profundidade.\n
  • Tensão total: contribuição só da camada 1 (espessura 2{,}5\\ \mathrm{m}, \gamma_{\text{nat}}=17{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3):\n \sigma_v(2{,}5)=\gamma_{\text{nat}}\cdot 2{,}5 = 17{,}5\cdot 2{,}5 = 43{,}75\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n(Explicando: multiplica-se o peso por unidade de volume pela espessura para obter peso por unidade de área — unidade kN/m ^2).\n
  • Pressão de poros: como estamos no NA, por convenção u(2{,}5)=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 (não há coluna d’água acima do NA).\n
  • Tensão efetiva:\n \sigma'(2{,}5)=\sigma_v(2{,}5)-u(2{,}5)=43{,}75-0=43{,}75\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Cálculo no ponto 3 — Interface argila/areia em 6{,}5\\ \mathrm{m}\n
  • Aqui acumulamos: camada 1 inteira ( 2{,}5\\ \mathrm{m} com \gamma_{\text{nat}}=17{,}5) e camada 2 inteira ( 4{,}0\\ \mathrm{m} com \gamma_{\text{sat}}=18{,}2).\n
  • Tensão total (somando termos):\n \sigma_v(6{,}5)=\underbrace{17{,}5\cdot 2{,}5}_{\text{camada 1}} \;+\; \underbrace{18{,}2\cdot 4{,}0}_{\text{camada 2}}\nCalculando cada termo:\n
    \;17{,}5\cdot 2{,}5 = 43{,}75\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
    \;18{,}2\cdot 4{,}0 = 72{,}80\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
    Somando:\n \sigma_v(6{,}5)=43{,}75 + 72{,}80 = 116{,}55\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
  • Pressão de poros: estamos abaixo do NA. A profundidade abaixo do NA é 6{,}5-2{,}5=4{,}0\\ \mathrm{m}, então\n u(6{,}5)=\gamma_w\cdot (6{,}5-2{,}5)=10\cdot 4{,}0 = 40{,}00\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
  • Tensão efetiva:\n \sigma'(6{,}5)=\sigma_v(6{,}5)-u(6{,}5)=116{,}55 - 40{,}00 = 76{,}55\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.

Passo 6

Cálculo no ponto 4 — 3{,}5\\ \mathrm{m} dentro da areia densa = 10{,}0\\ \mathrm{m} da superfície\n
  • Agora somamos as três contribuições: camada 1 completa, camada 2 completa e 3{,}5\\ \mathrm{m} da camada 3.\n
  • Tensão total:\n \sigma_v(10{,}0)=17{,}5\cdot 2{,}5 \;+\; 18{,}2\cdot 4{,}0 \;+\; 20{,}5\cdot 3{,}5.\nJá calculamos os dois primeiros termos: 43{,}75 e 72{,}80. Agora o terceiro:\n
    \;20{,}5\cdot 3{,}5 = 71{,}75\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
    Somando tudo:\n \sigma_v(10{,}0)=43{,}75 + 72{,}80 + 71{,}75 = 188{,}30\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
  • Pressão de poros: estamos abaixo do NA; profundidade abaixo do NA: 10{,}0-2{,}5=7{,}5\\ \mathrm{m}. Assim\n u(10{,}0)=\gamma_w\cdot 7{,}5 = 10\cdot 7{,}5 = 75{,}00\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
  • Tensão efetiva:\n \sigma'(10{,}0)=\sigma_v(10{,}0)-u(10{,}0)=188{,}30 - 75{,}00 = 113{,}30\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Como interpretar e desenhar qualitativamente os perfis (dica prática para prova)\n
  • Curva de tensão total \sigma_v(z): começa em 0 na superfície e cresce linearmente com inclinação \gamma_{\text{nat}}=17{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 até 2{,}5\\ \mathrm{m}; depois muda de inclinação para \gamma_{\text{sat}}=18{,}2 entre 2{,}5 e 6{,}5\\ \mathrm{m}; depois muda para \gamma_{\text{sat}}=20{,}5 abaixo de 6{,}5\\ \mathrm{m}. Num esboço, trace segmentos retos com essas inclinações e saltos contínuos (a \sigma_v é contínua) nas interfaces.\n
  • Curva de pressão de poros u(z): é 0 de z=0 até z=2{,}5. A partir de 2{,}5\\ \mathrm{m} sobe linear com inclinação \gamma_w=10. No esboço, é um trecho nulo (eixo horizontal) até 2{,}5\\ \mathrm{m} e depois uma reta com inclinação 10.\n
  • Curva de tensão efetiva \sigma'(z): acima do NA coincide com \sigma_v (porque u=0), portanto cresce com inclinação 17{,}5 até 2{,}5\\ \mathrm{m}. Abaixo do NA a inclinação passa a ser \gamma-\gamma_w:\n
    • Na argila: inclinação 18{,}2-10 = 8{,}2\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.\n
    • Na areia: inclinação 20{,}5-10 = 10{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.\n
      No esboço, \sigma' é contínua na base do aterro e cresce mais devagar dentro da argila do que na areia (porque a argila tem \gamma-\gamma_w menor).\n
  • Dica de prova: para desenhar rápido, marque na coluna as profundidades 0, 2{,}5, 6{,}5, 10 m e coloque os valores calculados de \sigma_v, u e \sigma' — ligue por segmentos retos conforme as inclinações que descrevi. Isso costuma bastar para um “perfil” bem feito numa prova.

Resposta

Superfície ( 0{,}0\\ \mathrm{m}): \sigma_v=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; u=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; \sigma'=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Interface aterro/argila ( 2{,}5\\ \mathrm{m}): \sigma_v=43{,}75\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; u=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; \sigma'=43{,}75\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Interface argila/areia ( 6{,}5\\ \mathrm{m}): \sigma_v=116{,}55\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; u=40{,}00\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; \sigma'=76{,}55\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
A 3{,}5\\ \mathrm{m} dentro da areia densa (profundidade total 10{,}0\\ \mathrm{m}): \sigma_v=188{,}30\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; u=75{,}00\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2,\; \sigma'=113{,}30\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2

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