Uma bomba centrífuga está montada em uma cota topográfica de 845 m , em uma instalação de recalque cuja tubulação de sucção tem
de comprimento,
de diâmetro, em PVC rígido
, constando de uma válvula de pé com crivo e um joelho de
. Para um recalque de água a 25 s C e uma curva de NPSH requerido, dada pela tabela a seguir e considerando que a altura estática de sucção é de 2,0 e que a bomba é não afogada, determine:
a) A máxima vazão a ser recalcada para a cavitação incipiente.
b) Se a vazão recalcada for
, qual a folga entre o NPSH(d) e o NPSH®.
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
0,45
1,00
2,65
5,10
7,64
11,10
a) A máxima vazão a ser recalcada para a cavitação incipiente.
b) Se a vazão recalcada for
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5,0 | 10,0 | 15,0 | 20,0 | 25,0 | 30,0 |
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0,45 | 1,00 | 2,65 | 5,10 | 7,64 | 11,10 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, com todas as informações úteis (peguei os números diretamente do enunciado):
- A bomba está à cota topográfica de
. - Comprimento da tubulação de sucção:
. - Diâmetro da sucção:
. - Tubo em PVC rígido: coeficiente de Hazen–Williams
. - Há uma válvula de pé com crivo (pé com crivo) e um joelho de
na sucção. - Temperatura da água:
(usarei a pressão de vapor saturado de água a ). - Altura estática de sucção:
. - A bomba é “não afogada” (tem-se uma superfície livre alimentando a sucção, logo o ar está na interface; o cálculo de NPSH disponível considera a pressão atmosférica reduzia pela altitude).
- Curva de NPSH requerido (tabela): para
em -
O enunciado pede:
a) A máxima vazão que pode ser recalcada antes de cavitação incipiente (ou seja, a maior vazão para a qual o NPSH disponível NPSH requerido).
b) Se a vazão for , calcular a folga
(a diferença entre NPSH disponível e NPSH requerido).
a) A máxima vazão que pode ser recalcada antes de cavitação incipiente (ou seja, a maior vazão para a qual o NPSH disponível
b) Se a vazão for
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vou definir e explicar a fórmula do NPSH disponível (didático, passo a passo).
O conceito: NPSH disponível (
) é a pressão absoluta (convertida em metros de coluna d’água) no ponto livre da bomba na sucção, reduzida pela pressão de vapor e pelas perdas entre a superfície livre e a entrada da bomba. Matemáticamente, uma expressão prática é:
onde:
-
é a cabeça de pressão do ar no nível onde está a instalação (em metros de água). Nota: a pressão atmosférica diminui com a altitude, por isso usamos a pressão correspondente à cota . -
é a altura estática positiva da superfície livre em relação ao centro da sucção da bomba (em metros). Aqui (fornecido). -
é a cabeça equivalente à pressão de vapor da água a : . -
são as perdas totais na linha de sucção entre a superfície livre e a entrada da bomba (soma de perdas por atrito + perdas localizadas). Essas perdas já são expressas em metros de coluna d’água e são subtraídas inteiras.
Agora vou explicar cada termo e calcular valores numéricos iniciais.
-
Pressão atmosférica à altitude
. - Pressão ao nível do mar aproximada:
. - Aproximação barométrica exponencial (suficiente para prova):
, com (constante de escala). Para :
- Converte para cabeça:
com e :
- Pressão ao nível do mar aproximada:
-
Cabeça de vapor a
. Pressão de vapor saturado . Assim: -
Termo atmosférico + altura estática - vapor:(manterei mais casas significativas nas contas internas).
-
Agora falta calcular
na sucção: soma de perda por atrito (ao longo do tubo) e perdas localizadas (válvula de pé com crivo + joelho de ). Vou explicar o método usado para cada parcela.
- Perda por atrito (maior): como temos tubo plástico PVC rígido e o enunciado nos forneceu
, usaremos a fórmula de Hazen–Williams (muito usada em hidráulica para água em condutas lisas/rigidas). A fórmula prática (em unidades SI compatíveis) para perda em metros é:
onde:
-
é perda por atrito em metros, -
é comprimento do tubo em metros (aqui ), -
é a vazão em (atenção: enunciado dá vazões em , então ), -
coeficiente Hazen–Williams (aqui ), -
diâmetro em metros (aqui ).
Observação didática: a fórmula de Hazen–Williams é empírica e dá
, adequada para água em tubos não muito pequenos. Aqui é a fórmula pedida pela presença de
.
-
Perdas localizadas: são calculadas pela forma clássica
, onde é coeficiente adimensional do elemento (válvula, cotovelo etc.) e é a velocidade média no tubo ( , ). Escolhas típicas de coeficientes (utilizadas em provas quando não fornecidos explicitamente): - Válvula de pé com crivo (pé com crivo e tela): adotarei
(valor conservador e usual em tabelas). - Joelho de
: adotarei (valor típico para cotovelo arredondado; se fosse cotovelo muito abrupto poderia ser maior). - Portanto
.
Explico: se a prova esperava outrosdaria esses valores; como não foram dados, escolhemos valores típicos e explicamos. - Válvula de pé com crivo (pé com crivo e tela): adotarei
Agora vou computar as expressões numéricas necessárias (áreas, constantes) para poder calcular
em função de
e
.
Passo 3
Cálculos preparatórios numéricos (área, termos constantes, expressão de perdas por atrito simplificada).
- Área do tubo:
-
Constante para conversões na fórmula de Hazen–Williams:
- Calculo aproximado do denominador fixo
: Multiplicando: - Assim a fórmula de Hazen–Williams fica numericamente (para este diâmetro e
): onde em e em metros. (ou seja, ).
- Calculo aproximado do denominador fixo
-
Expressão para perdas localizadas (em função de
): - velocidade
. Como , - velocidade-head:
- Com
: com em e em metros.
- velocidade
-
Portanto as perdas totais na sucção (em metros) são:
com
em
.
- Por fim, a expressão numérica para
:
onde
em
. (Este é o termo
menos as perdas.)
Observação: os coeficientes foram arredondados para manter a resolução legível; a metodologia é a que conta numa prova e os números apresentados são consistentes.
Passo 4
Agora vamos calcular
para os vazões da tabela e comparar com
para determinar a maior vazão segura (parte a).
Primeiro convertemos as vazões da tabela para
:
Vou calcular
,
e
em função de
para cada vazão (mostrar expressão e depois simplificar).
Usando as aproximações numéricas do Passo 3:
Para
(5 L/s):
-
. Então -
. -
. -
Para
(10 L/s):
-
-
. -
. -
Para
(15 L/s):
-
-
. -
Para
(20 L/s):
-
,
. -
. -
Para
(25 L/s):
-
,
. -
. -
Para
(30 L/s):
-
,
. -
. -
(Obs.: os pequenos arredondamentos não alteram a conclusão qualitativa.)
Passo 5
Comparação
versus
para decidir a máxima vazão segura (parte a).
A condição de não cavitação incipiente é
.
Para cada vazão da tabela escrevo a desigualdade e resolvo para
(assim obtenho para que valores de
cada vazão é aceitável). Isto gera um resultado em faixas de
que nos permite escolher a maior vazão permitida.
-
Para
: .
Isso dá. Impossível para positivo. Logo não é permitido para . -
Para
: .
Rearranjando: -
Para
: .
=> -
Para
: .
=> -
Para
: .
=> -
Para
: .
=>
Interpretação didática: para cada vazão da tabela temos um limite máximo de
para que aquela vazão ainda seja segura (sem cavitação). Para escolher a máxima vazão recalcável, tomamos a maior vazão da tabela que satisfaça a condição para o
real do problema. Não foi dado um valor numérico de
no enunciado; portanto a resposta deve ficar em função de
. Combinando os resultados obtemos uma resposta por faixas de
:
- Se
então não ok, mas é ok. Logo a maior vazão permitida é . - Se
então falha, mas é ok → maior vazão permitida é . - Se
então falha, mas é ok → maior vazão permitida é . - Se
então a maior vazão permitida é . - Se
então a maior vazão permitida é . - Valores absurdamente grandes de
(maiores que ) não fazem sentido prático aqui.
Assim respondemos a parte (a) em função de
.
Passo 6
Agora resolvo a parte (b): para
, determinar a folga
.
- Primeiro expresso
em :
- Calculo
usando a fórmula obtida:
com
.
- Agora preciso de
para essa vazão . A tabela fornece pontos em e . Em geral a vazão ficará numa dessas faixas; portanto a forma prática é usar interpolação linear entre os pontos da tabela que cercam . Vou explicar o procedimento e depois dar a expressão:
- Ache os dois pontos da tabela
e tais que . Os pares correspondentes e servem para interpolar:
No caso concreto, se
temos
L/s (exatamente um ponto da tabela:
). Para
o
pode cair entre 15 e 20, ou acima; o procedimento geral é esse (interpolar entre o par correto).
- Finalmente a folga pedida é:
onde o segundo termo é obtido por interpolação linear na tabela (entre os pontos adequados).
- Se for conveniente dar uma expressão algébrica explícita (substituindo
), temos:
E depois
(com
interpolado).
Observação prática: se o problema pedir um valor numérico da folga, é necessário um valor numérico de
. Sem
não podemos dar um único número; podemos apenas dar a expressão acima ou avaliar para um
específico. Se
for pequeno (por exemplo
), a conta fica fácil: para
,
, então
(da tabela) e
já calculado no Passo 4 para
dá
, então a folga seria
. (Isto é um exemplo numérico para
.)
Passo 7
Resumo do método e dicas práticas para a prova (didática e motivação rápida):
- Sempre calcule
considerando a altitude se a bomba estiver em cota elevada; não use o valor de nível do mar sem justificativa. - Use pressão de vapor correspondente à temperatura da água (25°C aqui).
- Some perdas de atrito (Hazen–Williams se
for dado) e perdas localizadas com . Converta unidades com cuidado (L/s → m^3/s, diâmetro em m). - Compare
com disponível na curva da bomba. Se está tudo bem; se haverá cavitação incipiente. - Se a curva de
for dada por pontos, use interpolação linear entre pontos próximos para obter em vazões intermediárias.
Resposta
(a) A máxima vazão permitida (sem cavitação incipiente), em função de
, é:
- Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
(b) Para
a folga
é dada por
onde
deve ser obtido por interpolação linear na tabela de NPSH requerido entre os pontos da tabela que cercam
.
(Exemplo numérico: para
tem-se
,
e
, logo
.)