Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde
é a velocidade na linha de centro do tubo,
é a coordenada radial,
é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média,
a velocidade no centro,
, para
Passo 1
O enunciado dá o perfil de velocidade em escoamento turbulento num tubo de raio
:
sendo
a velocidade no centro. Queremos a velocidade média
definida por
onde
. Para resolver, vamos expressar a integral em coordenadas cilíndricas e usar a função Beta.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas,
, logo
Passo 3
Fazendo a mudança de variável adimensional
, com
e
, obtemos
Passo 4
A integral
é a função Beta:
Portanto
pois
.
Passo 5
Para
temos
. Usando a propriedade
:
Logo
Assim