Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
\mathbf{V}=u_{e}\left(\frac{R-r}{R}\right)^{1 / n} \hat{\mathbf{i}}
onde u_{c} é a velocidade na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, \bar{u}, \mathrm{c} a velocidade no centro, u, para
n=6

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade em escoamento turbulento num tubo de raio R:
u(r)=u_{c}\Bigl(\frac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n},
sendo u_{c} a velocidade no centro. Queremos a velocidade média
\bar{u} definida por
\bar{u}=\frac{1}{A}\int_{A}u(r)\,dA,
onde A=\pi R^{2}. Para resolver, vamos expressar a integral em coordenadas cilíndricas e usar a função Beta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, dA=2\pi r\,dr, logo
\bar{u} =\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R}u_{c}\Bigl(\tfrac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n}\,2\pi r\,dr =2u_{c}\,\frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R}r\Bigl(\tfrac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n}dr.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável adimensional x=r/R, com dr=R\,dx e r=R x, obtemos
\bar{u} =2u_{c}\int_{0}^{1}x\,(1-x)^{1/n}\,dx =2u_{c}\,\int_{0}^{1}x^{1}\,(1-x)^{1/n}\,dx.

Passo 4

A integral \displaystyle\int_{0}^{1}x^{1}(1-x)^{1/n}dx é a função Beta:
\int_{0}^{1}x^{1}(1-x)^{1/n}dx =B\bigl(2,1+\tfrac{1}{n}\bigr) =\frac{\Gamma(2)\,\Gamma\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)}% {\Gamma\bigl(3+\tfrac{1}{n}\bigr)}.
Portanto
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\,\frac{\Gamma(2)\,\Gamma\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)}% {\Gamma\bigl(3+\tfrac{1}{n}\bigr)} =2\,\frac{\Gamma\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)}% {\Gamma\bigl(3+\tfrac{1}{n}\bigr)},
pois \Gamma(2)=1!\,=1.

Passo 5

Para n=6 temos 1/n=1/6. Usando a propriedade \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z):
\Gamma\bigl(1+\tfrac{1}{6}\bigr)=\Gamma\bigl(\tfrac{7}{6}\bigr) =\tfrac{1}{6}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr),
\Gamma\bigl(3+\tfrac{1}{6}\bigr)=\Gamma\bigl(\tfrac{19}{6}\bigr) =\tfrac{13}{6}\cdot\tfrac{7}{6}\cdot\tfrac{1}{6}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr) =\frac{91}{216}\,\Gamma\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr).
Logo
\frac{\Gamma(\tfrac{7}{6})}{\Gamma(\tfrac{19}{6})} =\frac{\tfrac{1}{6}\,\Gamma(\tfrac{1}{6})}{\tfrac{91}{216}\,\Gamma(\tfrac{1}{6})} =\frac{1/6}{91/216} =\frac{36}{91}.
Assim
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\cdot\frac{36}{91} =\frac{72}{91}\approx0{,}7912.

Resposta

\displaystyle \frac{\bar{u}}{u_{c}}=\frac{72}{91}\approx0{,}79 para n=6.

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