Pergunta 10,25 pts
Determine a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) y^prime prime(x)+y^prime(x)-2 y(x)=0, y(0)=1 e y^prime(0)=4.
2 e^x-e^-2 x
4 e^x+2 e^-2 x
e^x-e^-2 x
e^x+e^-2 x
Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI)
y''(x) + y'(x) - 2,y(x) = 0,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=4.
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
lambda^2 + lambda - 2 = 0
Resolvendo-a,
lambda = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
logo lambda1 = 1 e lambda2 = -2.

Passo 3

A solução geral da EDO é
Derivando,
Impondo as condições iniciais em
Resolvendo esse sistema, subtraímos a primeira equação multiplicada por 2 da segunda:
e daí (A = 1 - B = 2].

Passo 4

Substituindo A=2 e B=-1 em y(x), obtemos
y(x) = 2,e^x - e^-2x

Resposta

2e^x-e^-2x

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