Exercício 3.7. Determine se as seguintes séries convergem. Em caso positivo, calcule suas somas.
sumn=1^infty ln (n2 n+1).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^inftyln!gl(n2n+1gr)
Isso é conteúdo de séries infinitas e vamos usar a ideia de soma parcial e manipular logaritmos para ver se há telescopia ou expressão em termos de fatoriais.

Passo 2

Definimos a soma parcial
;SN=sumn=1^Nln!gl(n2n+1gr);=sumn=1^Nln n;-;sumn=1^Nln(2n+1)
Agora
sumn=1^Nln n=lnl(N!r), sumn=1^Nln(2n+1)=ln!prodn=1^N(2n+1) =ln!gl((2N+1)!2^N,N!gr)
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SN =lnl(N!r);-;ln!l(tfrac(2N+1)!2^N,N!r) =ln!l(2^N,(N!)^2r);-;lnl((2N+1)!r)

Passo 3

Para ver o comportamento de SN quando Ntoinfty, escrevemos
SN =ln!l(2^N,(N!)^2(2N+1)!r) =ln!l(2^N2N+1cdot(N!)^2(2N)!r) =ln!l(2^N2N+1r)-lnbinom2NN
Mas sabe-se que
binom2NNsim4^Nraizpi,N Longrightarrow lnbinom2NNsim Nln4-tfrac12ln(pi N)
Então
SNsim Nln2-ln(2N+1);-;l(Nln4-tfrac12ln(pi N)r) =-Nln2;-;ln(2N+1);+;tfrac12ln(pi N)
O termo dominante é -Nln2, que vai a -infty.

Passo 4

Como SNto -infty quando Ntoinfty, a série não converge a um número finito; ela diverge (para -infty).

Resposta

A série diverge (a soma parcial tende a -infty).

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