[2,5 pontos] As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de fatores como localização geográfica, influència sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como D_{1} e D_{2}, com P\left(D_{1}\right)=0,60 e P\left(D_{2}\right)=0,40, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças. Suponha que, dadas as doenças D_{1} e D_{2}, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas S_{1}, S_{2} ou S_{3} sáo como segue.
Doenças Sintomas
S_{1} S_{2} S_{3}
D_{1} 0,15 0,10 0,15
D_{2} 0,80 0,15 0,03
Depois de constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular.
d) Sabendo-se que um paciente tem o sintoma S_{3}, qual a probabilidade de ele ter a doença D_{1} ? E qual a probabilidade de ele ter a doença D_{2} ?
e) Se um paciente tem ambos os sintomas S_{1} e S_{2}, qual a probabilidade de ele ter a doença D_{1} ? E qual a probabilidade de ele ter a doença D_{2} ?

Passo 1

O enunciado fornece as probabilidades prévias e as probabilidades condicionais dos sintomas dadas as doenças. As perguntas pedem as probabilidades revisadas (posteriores) das doenças após observar sintomas. Dados fornecidos (retirei estes valores da tabela do enunciado):
P(D_{1})=0,60,\qquad P(D_{2})=0,40
P(S_{1}\mid D_{1})=0,15,\quad P(S_{2}\mid D_{1})=0,10,\quad P(S_{3}\mid D_{1})=0,15
P(S_{1}\mid D_{2})=0,80,\quad P(S_{2}\mid D_{2})=0,15,\quad P(S_{3}\mid D_{2})=0,03
Perguntas:
d) Sabendo que o paciente tem S_{3}, qual P(D_{1}\mid S_{3}) e P(D_{2}\mid S_{3})?
e) Sabendo que o paciente tem ambos S_{1} e S_{2}, qual P(D_{1}\mid S_{1},S_{2}) e P(D_{2}\mid S_{1},S_{2})?

Passo 2

Vou usar a fórmula de Bayes para encontrar probabilidades posteriores. Antes de usar, explico cada conceito de forma simples:
  • P(D_{i}) é a probabilidade prévia (antes de observar sintomas) da doença D_{i}.
  • P(S\mid D_{i}) é a probabilidade de observar o sintoma S dado que a doença é D_{i} (chamamos isso de verossimilhança).
  • P(D_{i}\mid S) é a probabilidade que queremos: a probabilidade da doença D_{i} após observar o sintoma S (posterior).
    A fórmula de Bayes (para o caso de duas doenças) é:
P(D_{1}\mid S)=\frac{P(S\mid D_{1})\,P(D_{1})}{P(S\mid D_{1})\,P(D_{1})+P(S\mid D_{2})\,P(D_{2})}
e análoga para P(D_{2}\mid S). A denominação é a probabilidade total de S, calculada somando as contribuições de cada doença (teorema da probabilidade total).

Passo 3

Resolvendo a parte (d): substituir S=S_{3} na fórmula. Usamos os valores da tabela: P(S_{3}\mid D_{1})=0,15 e P(S_{3}\mid D_{2})=0,03, e as priors P(D_{1})=0,60, P(D_{2})=0,40. Calculemos passo a passo:
numerador para D_{1}:
P(S_{3}\mid D_{1})\,P(D_{1}) = 0,15\cdot 0,60 = 0,09
contribuição de D_{2}:
P(S_{3}\mid D_{2})\,P(D_{2}) = 0,03\cdot 0,40 = 0,012
denominador (probabilidade total de S_{3}):
P(S_{3}) = 0,09+0,012 = 0,102
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P(D_{1}\mid S_{3})=\frac{0,09}{0,102}\approx 0,8823529

Passo 4

Continuando (d), a probabilidade de D_{2} dado S_{3} pode ser obtida por simetria ou por 1- anterior. Calculando diretamente:
P(D_{2}\mid S_{3})=\frac{0,012}{0,102}\approx 0,1176471
Verificação rápida: 0,8823529+0,1176471=1,0000000 (arredondamentos permitidos). Intuição: mesmo que D_{1} tivesse prior maior e S_{3} seja mais provável em D_{1}, isso aumenta muito a chance de D_{1} quando vemos S_{3}.

Passo 5

Agora a parte (e): queremos P(D_{i}\mid S_{1},S_{2}). Precisamos da probabilidade conjunta P(S_{1},S_{2}\mid D_{i}). O enunciado não diz explicitamente se os sintomas são dependentes entre si dadas as doenças; o procedimento padrão nesses exercícios é assumir independência condicional dos sintomas dado cada doença (essa suposição é a base do classificador “naive Bayes”). Ou seja, assumimos:
P(S_{1},S_{2}\mid D_{i}) = P(S_{1}\mid D_{i})\cdot P(S_{2}\mid D_{i})
Vou usar essa suposição (se na prova o enunciado dissesse que os sintomas são dependentes, teríamos que usar outra informação).

Passo 6

Calculemos as verossimilhanças conjuntas usando os números da tabela (novamente estou pegando estes valores da tabela do enunciado):
Para D_{1}:
P(S_{1},S_{2}\mid D_{1}) = 0,15\cdot 0,10 = 0,015
Para D_{2}:
P(S_{1},S_{2}\mid D_{2}) = 0,80\cdot 0,15 = 0,12
Agora aplicamos Bayes:
numerador para D_{1}:
0,015\cdot P(D_{1}) = 0,015\cdot 0,60 = 0,009
numerador para D_{2}:
0,12\cdot P(D_{2}) = 0,12\cdot 0,40 = 0,048
denominador (probabilidade total de observar ambos os sintomas):
P(S_{1},S_{2}) = 0,009+0,048 = 0,057

Passo 7

Agora a posterior para D_{1} dado S_{1},S_{2}:
P(D_{1}\mid S_{1},S_{2})=\frac{0,009}{0,057}\approx 0,1578947
E para D_{2}:
P(D_{2}\mid S_{1},S_{2})=\frac{0,048}{0,057}\approx 0,8421053
Verificação: 0,1578947+0,8421053=1 (arredondamentos ok). Intuição: apesar de D_{1} ter prior maior, S_{1} é muito mais provável em D_{2} e o par S_{1},S_{2} favorece fortemente D_{2}.

Passo 8

Resumo didático-final rápido: para cada caso usamos Bayes — multiplicamos verossimilhança pela prior e dividimos pela soma das contribuições das doenças (teorema da probabilidade total). Para dois sintomas, multiplicamos as verossimilhanças assumindo independência condicional. Isso é exatamente o que se faz em diagnósticos médicos quando se combinam evidências independentes.

Resposta

d) P(D_{1}\mid S_{3})\approx 0,8824,\; P(D_{2}\mid S_{3})\approx 0,1176
e) P(D_{1}\mid S_{1},S_{2})\approx 0,1579,\; P(D_{2}\mid S_{1},S_{2})\approx 0,8421

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