[2,5 pontos] As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de fatores como localização geográfica, influència sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como
e
, com
e
, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças. Suponha que, dadas as doenças
e
, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas
ou
sáo como segue.
Doenças
Sintomas
0,15
0,10
0,15
0,80
0,15
0,03
Depois de constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular.
d) Sabendo-se que um paciente tem o sintoma
, qual a probabilidade de ele ter a doença
?
qual a probabilidade de ele ter a doença
?
e) Se um paciente tem ambos os sintomas
e
, qual a probabilidade de ele ter a doença
?
qual a probabilidade de ele ter a doença
?
| Doenças | Sintomas | ||
|
|
|
|
|
|
|
0,15 | 0,10 | 0,15 |
|
|
0,80 | 0,15 | 0,03 |
d) Sabendo-se que um paciente tem o sintoma
e) Se um paciente tem ambos os sintomas
Passo 1
O enunciado fornece as probabilidades prévias e as probabilidades condicionais dos sintomas dadas as doenças. As perguntas pedem as probabilidades revisadas (posteriores) das doenças após observar sintomas. Dados fornecidos (retirei estes valores da tabela do enunciado):
Perguntas:
d) Sabendo que o paciente tem , qual
e
?
e) Sabendo que o paciente tem ambos e
, qual
e
?
d) Sabendo que o paciente tem
e) Sabendo que o paciente tem ambos
Passo 2
Vou usar a fórmula de Bayes para encontrar probabilidades posteriores. Antes de usar, explico cada conceito de forma simples:
-
é a probabilidade prévia (antes de observar sintomas) da doença . -
é a probabilidade de observar o sintoma dado que a doença é (chamamos isso de verossimilhança). -
é a probabilidade que queremos: a probabilidade da doença após observar o sintoma (posterior).
A fórmula de Bayes (para o caso de duas doenças) é:
e análoga para
. A denominação é a probabilidade total de
, calculada somando as contribuições de cada doença (teorema da probabilidade total).
Passo 3
Resolvendo a parte (d): substituir
na fórmula. Usamos os valores da tabela:
e
, e as priors
,
. Calculemos passo a passo:
numerador para :
numerador para
contribuição de
:
denominador (probabilidade total de
):
logo
Passo 4
Continuando (d), a probabilidade de
dado
pode ser obtida por simetria ou por
anterior. Calculando diretamente:
Verificação rápida:
(arredondamentos permitidos). Intuição: mesmo que
tivesse prior maior e
seja mais provável em
, isso aumenta muito a chance de
quando vemos
.
Passo 5
Agora a parte (e): queremos
. Precisamos da probabilidade conjunta
. O enunciado não diz explicitamente se os sintomas são dependentes entre si dadas as doenças; o procedimento padrão nesses exercícios é assumir independência condicional dos sintomas dado cada doença (essa suposição é a base do classificador “naive Bayes”). Ou seja, assumimos:
Vou usar essa suposição (se na prova o enunciado dissesse que os sintomas são dependentes, teríamos que usar outra informação).
Passo 6
Calculemos as verossimilhanças conjuntas usando os números da tabela (novamente estou pegando estes valores da tabela do enunciado):
Para :
Para
Para
:
Agora aplicamos Bayes:
numerador para :
numerador para
numerador para
:
denominador (probabilidade total de observar ambos os sintomas):
Passo 7
Agora a posterior para
dado
:
E para
:
Verificação:
(arredondamentos ok). Intuição: apesar de
ter prior maior,
é muito mais provável em
e o par
favorece fortemente
.
Passo 8
Resumo didático-final rápido: para cada caso usamos Bayes — multiplicamos verossimilhança pela prior e dividimos pela soma das contribuições das doenças (teorema da probabilidade total). Para dois sintomas, multiplicamos as verossimilhanças assumindo independência condicional. Isso é exatamente o que se faz em diagnósticos médicos quando se combinam evidências independentes.
Resposta
d)
e)
e)