5 (1/2002). Em 1930 foi disputada a primeira copa do mundo de futebol no Uruguai. Foram disputadas, até a copa de 1998 na França, um total de 16 copas, sendo que no periodo entre 1938-1950 a competiçīo nāo foi realizada devido à segunda guerra mundial. Na tabela a seguir é informado o número de vezes que cada pais terminou a competição entre cos cinco primeiros colocados; observe que somente 24 países obtiveram tal desempenho. Os dados sio reais e sino consideradas todas as 16 copas disputadas no periodo 1930-1998.
(FONTE: http://www.gawetaesportiva.net/copa2002/historia/indice.htm - acessado em maio de 2002)
PAIS \mathrm{N}^{\circ} de vezes 1^{\circ} ao 5^{\circ} colocado
Alemanha 10
Brasil 11
Itailia 8
Grupo A 5
Grupo B 4
Grupo C 3
Grupo D 2
Grupo E 1
Grupo A (2 paises) - Argentina e Suécia; Grupo B (3 paises) - França, Iugoslávia e Uruguai; Grupo C (4 países) - Tcheccelováquia, Holanda, Polōnia e URSS; Grupo D (5 paises) - Austria, Chile, Espanha, Hungria e Inglaterra; Grupo E (7 países) - Bélgica, Bulgária, Croácia, EUA, Pais de Gales, Portugal e Suiça.
a. Calcule o número médio de participaçōes terminando entre os cinco primciros colocados, isto é, a média do \mathrm{N}^{\circ} de veres 1^{\circ} ao 5^{\circ} colocado dos paises.
b. Calcule o erro-padrāo da médin.
c. Calcule o número mediano e o número modal.
d. A média aritmética é uma boa medida representativa (de posiçāo) dos númerces da tabela? SIM ou NÃO? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o número de vezes que cada um dos 24 países terminou entre o 1.º e o 5.º lugar nas Copas de 1930 a 1998 (16 edições, logo 16\cdot5=80 colocações no total). Os dados (agrupados) são:
  • Brasil: 11
  • Alemanha: 10
  • Itália: 8
  • Grupo A — 2 países (Argentina, Suécia): cada um com 5 (total do grupo 2\cdot5)
  • Grupo B — 3 países (França, Iugoslávia, Uruguai): cada um com 4 (total 3\cdot4)
  • Grupo C — 4 países (Tchecoslováquia, Holanda, Polônia, URSS): cada um com 3 (total 4\cdot3)
  • Grupo D — 5 países (Áustria, Chile, Espanha, Hungria, Inglaterra): cada um com 2 (total 5\cdot2)
  • Grupo E — 7 países (Bélgica, Bulgária, Croácia, EUA, País de Gales, Portugal, Suíça): cada um com 1 (total 7\cdot1)
Verifiquei que a soma das colocações é \sum x_i = 80 (conferindo as 16 copas). Perguntas pedidas:
a. Calcular a média do número de vezes que um país ficou entre os cinco primeiros.
b. Calcular o erro-padrão da média.
c. Calcular a mediana e a moda do conjunto.
d. A média é uma boa medida de posição? Responda SIM ou NÃO e justifique.

Passo 2

Definição e cálculo da média aritmética (a resposta de (a)).
  • Definição: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Aqui n=24 (número de países) e \sum x_i=80.
  • Cálculo:
\bar{x}=\frac{80}{24}=\frac{10}{3}\approx 3,333.
Interpretação: em média, um país dessa lista terminou entre os cinco primeiros cerca de 3,33 vezes nas 16 Copas.

Passo 3

Preparação para o cálculo do erro-padrão: vamos calcular a variância amostral e o desvio-padrão amostral. Uso a tabela por valores distintos (com suas frequências) para facilitar os somatórios.
  • Valores e frequências:
    • 11 (freq. 1)
    • 10 (freq. 1)
    • 8 (freq. 1)
    • 5 (freq. 2)
    • 4 (freq. 3)
    • 3 (freq. 4)
    • 2 (freq. 5)
    • 1 (freq. 7)
Vamos calcular \sum x_i^2, que aparece na fórmula da variância:
\sum x_i^2 = 11^2+10^2+8^2 + 2\cdot5^2 + 3\cdot4^2 + 4\cdot3^2 + 5\cdot2^2 + 7\cdot1^2.
Calculando cada parcela:
121+100+64 + 2\cdot25 + 3\cdot16 + 4\cdot9 + 5\cdot4 + 7\cdot1 = 446.

Passo 4

Cálculo da variância amostral s^2 e do desvio-padrão s (partes necessárias para o erro-padrão).
  • Fórmula (variância amostral): \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{n-1}\Big(\sum x_i^2 - n\bar{x}^2\Big). Aqui n=24 e \bar{x}=\frac{10}{3}.
  • Calcule n\bar{x}^2:
n\bar{x}^2 = 24\left(\frac{10}{3}\right)^2 = 24\cdot\frac{100}{9} = \frac{2400}{9}=\frac{800}{3}.
  • Então
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 446 - \frac{800}{3} = \frac{1338-800}{3}=\frac{538}{3}.
  • Logo a variância amostral é
s^2=\frac{1}{23}\cdot\frac{538}{3}=\frac{538}{69}\approx 7,7971.
  • O desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{7,7971}\approx 2,792.
Observação didática curta: eu optei por usar a variância amostral com denominador n-1 (ou seja, s) porque, na prática estatística, quando tratamos de dados de observações individuais e queremos estimar a incerteza da média, usa-se s (correção de Bessel). Se alguém entender que os 24 países formam toda a “população” de interesse, poderia usar o desvio-padrão populacional (denominador n), o resultado seria muito parecido; a diferença é pequena aqui.

Passo 5

Cálculo do erro-padrão da média (resposta de (b)).
  • Definição: o erro-padrão da média é \displaystyle \text{se}=\frac{s}{\sqrt{n}}, onde s é o desvio-padrão amostral e n o número de observações.
  • Substituindo s\approx2,792 e n=24 ( \sqrt{24}\approx4,899):
\text{se}\approx\frac{2,792}{4,899}\approx 0,570.
Interpretação: o erro-padrão da média é aproximadamente 0,57, isto é, a incerteza típica da média calculada é cerca de 0,57 colocações.

Passo 6

Cálculo da mediana (parte de (c)).
  • Definição: a mediana é o valor central da série ordenada. Se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Aqui n=24 (par), então a mediana é a média dos 12.º e 13.º valores ordenados.
  • Ordem decrescente (lista das 24 observações):
    11,10,8,5,5,4,4,4,3,3,3,3,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1.
    Assim o 12.º valor é 3 e o 13.º é 2.
  • Mediana:
\text{mediana}=\frac{3+2}{2}=2,5.

Passo 7

Cálculo da moda (continuação da (c)).
  • Definição: moda é o valor que aparece com maior frequência.
  • Contagens: o valor 1 aparece 7 vezes, 2 aparece 5 vezes, 3 aparece 4 vezes, etc. Logo a moda é 1.

Passo 8

Resposta à pergunta (d): a média é uma boa medida representativa? (SIM ou NÃO) com justificativa.
  • Observação dos resultados: \bar{x}\approx3,33, mediana =2,5, moda =1. A média é maior que a mediana e a moda, indicando que a distribuição é assimétrica à direita (há alguns países com muitas colocações — Brasil, Alemanha, Itália — que “puxam” a média para cima).
  • Conclusão: NÃO. Justificativa: a presença de poucos países com muitos top‑5 (valores atipicamente altos) desloca a média em direção a esses valores, de modo que a média não reflete bem o comportamento “típico” da maioria dos países (a maioria tem 1 ou 2 aparecimentos). Para caracterizar um país típico, a mediana ( 2,5 ) ou até a moda ( 1 ) são medidas mais representativas neste caso.

Resposta

a) \bar{x}=\dfrac{80}{24}=\dfrac{10}{3}\approx 3,333
b) \text{erro‑padrão}\approx 0,570ã
c) mediana =2,5 ; moda =1
d) NÃO

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