5 (1/2002). Em 1930 foi disputada a primeira copa do mundo de futebol no Uruguai. Foram disputadas, até a copa de 1998 na França, um total de 16 copas, sendo que no periodo entre 1938-1950 a competiçīo nāo foi realizada devido à segunda guerra mundial. Na tabela a seguir é informado o número de vezes que cada pais terminou a competição entre cos cinco primeiros colocados; observe que somente 24 países obtiveram tal desempenho. Os dados sio reais e sino consideradas todas as 16 copas disputadas no periodo 1930-1998.
(FONTE: http://www.gawetaesportiva.net/copa2002/historia/indice.htm - acessado em maio de 2002)
PAIS
de vezes
ao
colocado
Alemanha
10
Brasil
11
Itailia
8
Grupo A
5
Grupo B
4
Grupo C
3
Grupo D
2
Grupo E
1
Grupo A (2 paises) - Argentina e Suécia; Grupo B (3 paises) - França, Iugoslávia e Uruguai; Grupo C (4 países) - Tcheccelováquia, Holanda, Polōnia e URSS; Grupo D (5 paises) - Austria, Chile, Espanha, Hungria e Inglaterra; Grupo E (7 países) - Bélgica, Bulgária, Croácia, EUA, Pais de Gales, Portugal e Suiça.
a. Calcule o número médio de participaçōes terminando entre os cinco primciros colocados, isto é, a média do
de veres
ao
colocado dos paises.
b. Calcule o erro-padrāo da médin.
c. Calcule o número mediano e o número modal.
d. A média aritmética é uma boa medida representativa (de posiçāo) dos númerces da tabela? SIM ou NÃO? Justifique sua resposta.
(FONTE: http://www.gawetaesportiva.net/copa2002/historia/indice.htm - acessado em maio de 2002)
| PAIS |
|
| Alemanha | 10 |
| Brasil | 11 |
| Itailia | 8 |
| Grupo A | 5 |
| Grupo B | 4 |
| Grupo C | 3 |
| Grupo D | 2 |
| Grupo E | 1 |
a. Calcule o número médio de participaçōes terminando entre os cinco primciros colocados, isto é, a média do
b. Calcule o erro-padrāo da médin.
c. Calcule o número mediano e o número modal.
d. A média aritmética é uma boa medida representativa (de posiçāo) dos númerces da tabela? SIM ou NÃO? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o número de vezes que cada um dos 24 países terminou entre o 1.º e o 5.º lugar nas Copas de 1930 a 1998 (16 edições, logo
colocações no total). Os dados (agrupados) são:
- Brasil:
- Alemanha:
- Itália:
- Grupo A — 2 países (Argentina, Suécia): cada um com
(total do grupo ) - Grupo B — 3 países (França, Iugoslávia, Uruguai): cada um com
(total ) - Grupo C — 4 países (Tchecoslováquia, Holanda, Polônia, URSS): cada um com
(total ) - Grupo D — 5 países (Áustria, Chile, Espanha, Hungria, Inglaterra): cada um com
(total ) - Grupo E — 7 países (Bélgica, Bulgária, Croácia, EUA, País de Gales, Portugal, Suíça): cada um com
(total )
Verifiquei que a soma das colocações é
(conferindo as
copas). Perguntas pedidas:
a. Calcular a média do número de vezes que um país ficou entre os cinco primeiros.
b. Calcular o erro-padrão da média.
c. Calcular a mediana e a moda do conjunto.
d. A média é uma boa medida de posição? Responda SIM ou NÃO e justifique.
a. Calcular a média do número de vezes que um país ficou entre os cinco primeiros.
b. Calcular o erro-padrão da média.
c. Calcular a mediana e a moda do conjunto.
d. A média é uma boa medida de posição? Responda SIM ou NÃO e justifique.
Passo 2
Definição e cálculo da média aritmética (a resposta de (a)).
- Definição: a média aritmética de
valores é . Aqui (número de países) e . - Cálculo:
Interpretação: em média, um país dessa lista terminou entre os cinco primeiros cerca de
vezes nas 16 Copas.
Passo 3
Preparação para o cálculo do erro-padrão: vamos calcular a variância amostral e o desvio-padrão amostral. Uso a tabela por valores distintos (com suas frequências) para facilitar os somatórios.
- Valores e frequências:
-
(freq. ) -
(freq. ) -
(freq. ) -
(freq. ) -
(freq. ) -
(freq. ) -
(freq. ) -
(freq. )
-
Vamos calcular
, que aparece na fórmula da variância:
Calculando cada parcela:
Passo 4
Cálculo da variância amostral
e do desvio-padrão
(partes necessárias para o erro-padrão).
- Fórmula (variância amostral):
. Aqui e . - Calcule
:
- Então
- Logo a variância amostral é
- O desvio-padrão amostral é
Observação didática curta: eu optei por usar a variância amostral com denominador
(ou seja,
) porque, na prática estatística, quando tratamos de dados de observações individuais e queremos estimar a incerteza da média, usa-se
(correção de Bessel). Se alguém entender que os 24 países formam toda a “população” de interesse, poderia usar o desvio-padrão populacional (denominador
), o resultado seria muito parecido; a diferença é pequena aqui.
Passo 5
Cálculo do erro-padrão da média (resposta de (b)).
- Definição: o erro-padrão da média é
, onde é o desvio-padrão amostral e o número de observações. - Substituindo
e ( ):
Interpretação: o erro-padrão da média é aproximadamente
, isto é, a incerteza típica da média calculada é cerca de
colocações.
Passo 6
Cálculo da mediana (parte de (c)).
- Definição: a mediana é o valor central da série ordenada. Se
é par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Aqui (par), então a mediana é a média dos 12.º e 13.º valores ordenados. - Ordem decrescente (lista das 24 observações):
.
Assim o 12.º valor ée o 13.º é . - Mediana:
Passo 7
Cálculo da moda (continuação da (c)).
- Definição: moda é o valor que aparece com maior frequência.
- Contagens: o valor
aparece vezes, aparece vezes, aparece vezes, etc. Logo a moda é .
Passo 8
Resposta à pergunta (d): a média é uma boa medida representativa? (SIM ou NÃO) com justificativa.
- Observação dos resultados:
, mediana , moda . A média é maior que a mediana e a moda, indicando que a distribuição é assimétrica à direita (há alguns países com muitas colocações — Brasil, Alemanha, Itália — que “puxam” a média para cima). - Conclusão: NÃO. Justificativa: a presença de poucos países com muitos top‑5 (valores atipicamente altos) desloca a média em direção a esses valores, de modo que a média não reflete bem o comportamento “típico” da maioria dos países (a maioria tem 1 ou 2 aparecimentos). Para caracterizar um país típico, a mediana (
) ou até a moda ( ) são medidas mais representativas neste caso.
Resposta
a)
b)
c) mediana ; moda
d) NÃO
b)
c) mediana
d) NÃO