Pergunta 31 pts
Calcule a integral dupla:
\int_{0}^{b} \int_{0}^{a}\left(x y+3 x^{2}\right) d x d y
para \mathrm{a}=1,4 e \mathrm{b}=2,8
Dê a resposta com 1 casa decimal (por arredondamento).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{b}\int_{0}^{a}\left(xy+3x^{2}\right)\,dx\,dy.
  • Os valores fornecidos são a=1,4 e b=2,8.
Resultado esperado: um número (a integral avaliada) com uma casa decimal, por arredondamento.

Passo 2

Ideia do método (de forma simples): como a integral é sobre uma região retangular e a função é bem comportada (polinomial), podemos aplicar a regra de Fubini e integrar primeiro em x (integral interna) e depois em y (integral externa). Para integrar polinômios, lembra que a regra básica é:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
e integrações lineares multiplicam constantes (por exemplo, \int y\cdot x\,dx = y\int x\,dx quando y é tratado como constante em relação a x).

Passo 3

Calcular a primitiva em relação a x da função xy+3x^{2}. Tratando y como constante:
\int\left(xy+3x^{2}\right)\,dx = y\int x\,dx + 3\int x^{2}\,dx = y\cdot\frac{x^{2}}{2} + 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{y x^{2}}{2} + x^{3}.
Agora avaliamos essa primitiva entre x=0 e x=a:
\int_{0}^{a}\left(xy+3x^{2}\right)\,dx = \left.\left(\frac{y x^{2}}{2} + x^{3}\right)\right|_{0}^{a} = \frac{y a^{2}}{2} + a^{3}.

Passo 4

Agora fazemos a integral externa em y:
\int_{0}^{b}\left(\frac{y a^{2}}{2} + a^{3}\right)\,dy = \frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{b} y\,dy + a^{3}\int_{0}^{b}1\,dy.
Calculando as integrais simples:
\int_{0}^{b} y\,dy = \frac{b^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{b}1\,dy = b.
Substituindo:
\int_{0}^{b}\int_{0}^{a}\left(xy+3x^{2}\right)\,dx\,dy = \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{b^{2}}{2} + a^{3}b = \frac{a^{2}b^{2}}{4} + a^{3}b.
Essa é a expressão fechada em termos de a e b.

Passo 5

Agora substituímos a=1,4 e b=2,8 e calculamos passo a passo (usando vírgula para separador decimal):
  • Primeiro calcule a^{2}, b^{2} e a^{3}:
a^{2}=1,4^{2}=1,96, \qquad b^{2}=2,8^{2}=7,84, \qquad a^{3}=1,4^{3}=1,96\cdot1,4=2,744.
  • Calcule \dfrac{a^{2}b^{2}}{4}:
a^{2}b^{2}=1,96\cdot7,84=15,3664, \qquad \frac{a^{2}b^{2}}{4}=\frac{15,3664}{4}=3,8416.
  • Calcule a^{3}b:
a^{3}b=2,744\cdot2,8=7,6832.
  • Soma total:
3,8416+7,6832=11,5248.
Arredondando para uma casa decimal (arredondamento): 11,5248\to11,5.

Resposta

11,5

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