Sejam as integrais:
\mathrm{A}=\iint_{R}\left(\frac{y}{x+2}-x y^{2}\right) d A onde R é a região retangular dada por [-1,1] \times[0,1]
\mathrm{B}=\iint_{R}\left(x^{2}+y\right) d A onde R é a região retangular dada por [-3,2] \times[-1,1]
\mathrm{C}=\iint_{R}(3-x-y) d A onde R é a região retangular dada por [0,1] \times[0,2]
\mathrm{D}=\iint_{R} \operatorname{sen}(x) \cos (y) d A onde R é a região retangular dada por [0, \pi / 2] \mathrm{x}[0, \pi]
Digite o valor encontrado para cada integral acima.
USE VÍRGULAS REPRESENTAR OS NÚMEROS DECIMAIS E APROXIMAÇÃO COM 1 CASA DECIMAL.
A=

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • São quatro integrais duplas sobre regiões retangulares; cada integral pede o valor numérico da integral.
  • Integral A: \displaystyle A=\iint_{R}\left(\frac{y}{x+2}-x y^{2}\right)\,dA com R=[-1,1]\times[0,1].
  • Integral B: \displaystyle B=\iint_{R}\left(x^{2}+y\right)\,dA com R=[-3,2]\times[-1,1].
  • Integral C: \displaystyle C=\iint_{R}(3-x-y)\,dA com R=[0,1]\times[0,2].
  • Integral D: \displaystyle D=\iint_{R}\sin(x)\cos(y)\,dA com R=[0,\pi/2]\times[0,\pi].
O que é pedido: calcular numericamente A,B,C,D. Os resultados finais devem ser dados com uma casa decimal, usando vírgula como separador decimal.

Passo 2

Breve aula útil antes de calcular: integrais duplas sobre retângulos e a regra de Fubini.
  • Se R=[a,b]\times[c,d] é um retângulo e f(x,y) é integrável, então pela regra de Fubini
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{y=c}^{d}\int_{x=a}^{b} f(x,y)\,dx\,dy
ou trocando a ordem
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\,dx.
Isto significa que separamos a integração em duas integrais simples; escolhe-se a ordem conveniente (aqui usarei normalmente dx primeiro).
  • Dicas práticas que vou usar:
    1. Se a função é somatório de termos que dependem separadamente de x e y, a integral separa-se (produto ou soma de integrais).
    2. Se a integral em x de uma parte for zero por simetria (função ímpar integrada em intervalo simétrico [-a,a]), então esse termo some.
    3. Conhecimentos de primitiva: \displaystyle\int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln|x+2|+C; \displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x; \displaystyle\int \cos y\,dy = \sin y.
Agora aplico isso passo a passo para cada integral.

Passo 3

Cálculo da integral A.
Escrevo como integral iterada (integro em x primeiro):
A=\int_{y=0}^{1}\int_{x=-1}^{1}\left(\frac{y}{x+2}-x y^{2}\right)\,dx\,dy.
Calculo a integral interna em x. Posso separar os termos:
\int_{x=-1}^{1}\left(\frac{y}{x+2}-x y^{2}\right)\,dx = y\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+2}\,dx - y^{2}\int_{-1}^{1} x\,dx.
  • Primeiro termo: \displaystyle y\int_{-1}^{1}\frac{1}{x+2}\,dx = y\bigl[\ln|x+2|\bigr]_{-1}^{1}=y\bigl(\ln 3-\ln 1\bigr)=y\ln 3.
  • Segundo termo: \displaystyle y^{2}\int_{-1}^{1} x\,dx = y^{2}\cdot 0 porque x é função ímpar e o intervalo é simétrico; logo esse termo vale 0.
Portanto a integral interna vale y\ln 3. Logo
A=\int_{0}^{1} y\ln 3\,dy = \ln 3\int_{0}^{1} y\,dy.
Calculo final:
\int_{0}^{1} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
portanto
A=\frac{1}{2}\ln 3.
Agora aproximo numericamente para 1 casa decimal. Sei que \ln 3\approx 1,0986, então
A\approx \tfrac{1}{2}\cdot 1,0986 \approx 0,5493\approx 0,5.

Passo 4

Cálculo da integral B.
Escrevo iterada:
B=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=-3}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dx\,dy.
Integral interna em x:
\int_{x=-3}^{2}\left(x^{2}+y\right)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-3}^{2} + y\bigl(2-(-3)\bigr).
Calculo cada parte:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-3}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{(-3)^{3}}{3}=\frac{8}{3}-\frac{-27}{3}=\frac{35}{3},
e 2-(-3)=5. Então a integral interna é \dfrac{35}{3}+5y.
Agora integro em y de -1 a 1:
B=\int_{-1}^{1}\left(\frac{35}{3}+5y\right)\,dy = \frac{35}{3}\cdot(1-(-1)) + 5\int_{-1}^{1} y\,dy.
A segunda integral é zero por simetria. Assim
B=\frac{35}{3}\cdot 2 = \frac{70}{3}.
Aproximação com 1 casa decimal: \dfrac{70}{3}\approx 23,333\ldots, logo
B\approx 23,3.

Passo 5

Cálculo da integral C.
Escrevo iterada:
C=\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1}(3-x-y)\,dx\,dy.
Integral interna em x:
\int_{0}^{1}(3-x-y)\,dx = \left[3x-\frac{x^{2}}{2}-yx\right]_{0}^{1} = 3-\frac{1}{2}-y = \frac{5}{2}-y.
Agora integro em y de 0 a 2:
C=\int_{0}^{2}\left(\frac{5}{2}-y\right)\,dy = \frac{5}{2}\cdot 2 - \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = 5 - \frac{4}{2} = 5-2=3.
Com uma casa decimal:
C=3,0.

Passo 6

Cálculo da integral D.
A função é produto de funções separadas em x e y, então a integral separa:
D=\int_{y=0}^{\pi}\int_{x=0}^{\pi/2} \sin x\cos y\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos y\,dy\right).
Calculo as duas integrais simples:
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0+1=1,
\int_{0}^{\pi}\cos y\,dy = \left[\sin y\right]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0-0=0.
Multiplicando, D = 1\cdot 0 = 0. Com uma casa decimal:
D=0,0.

Resposta

A=0,5
B=23,3
C=3,0
D=0,0

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