Pergunta 1

Mude a integral cartesiana para uma integral polar e escolha a alternativa que contenha o resultado do cálculo da integral dupla:
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d y d x
(A)
2 а лал.
(B)
2 a.
(C)
\pi a^{2}.
(D)
\pi \cdot \cdot \cdot
(E)
\frac{\pi}{a} \cdots

Passo 1

O enunciado pede para trocar a integral cartesiana por polar e calcular o valor da integral dupla
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dy\,dx.
Informações dadas: os limites externos são x\in[-a,a] e, para cada x, y varia entre -\sqrt{a^{2}-x^{2}} e \sqrt{a^{2}-x^{2}}. Queremos o valor numérico dessa integral e escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.

Passo 2

Identificar a região de integração. Pelos limites em y temos
-\sqrt{a^{2}-x^{2}}\le y\le \sqrt{a^{2}-x^{2}},
o que implica -\sqrt{a^{2}-x^{2}}\le y\le \sqrt{a^{2}-x^{2}} e, portanto, y^{2}\le a^{2}-x^{2}. Somando x^{2} aos dois lados obtém-se
x^{2}+y^{2}\le a^{2}.
Logo, a região de integração é o disco centrado na origem com raio a:
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.

Passo 3

Troca para coordenadas polares. Definimos as variáveis polares (r,\theta) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao fazer esta mudança, o elemento de área dx\,dy transforma-se em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação do fator r: o elemento de área em polares é a área de um pequeno setor circular de raio r e espessura dr, cuja área aproximada é r\,d\theta\cdot dr; formalmente isso vem do jacobiano da transformação.

Passo 4

Determinar os limites em polares para a região R. Como R é o disco de raio a centrado na origem, r varia de 0 até a e \theta percorre a volta completa, ou seja de 0 até 2\pi. Portanto a integral em polares da função 1 sobre R fica
\iint_{R} 1\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em polares passo a passo:
Primeiro, integrar em r:
\int_{0}^{a} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{a} = \frac{a^{2}}{2}.
Em seguida, integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{a^{2}}{2}\,d\theta = \frac{a^{2}}{2}\cdot \left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \frac{a^{2}}{2}\cdot 2\pi = \pi a^{2}.
Interpretando: a integral da função constante 1 sobre a região R é simplesmente a área de R, que é \pi a^{2}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, o resultado \pi a^{2} corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) \pi a^{2}

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