Informações dadas: os limites externos são x\in[-a,a] e, para cada x, y varia entre -\sqrt{a^{2}-x^{2}} e \sqrt{a^{2}-x^{2}}. Queremos o valor numérico dessa integral e escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Passo 2
Identificar a região de integração. Pelos limites em y temos
-\sqrt{a^{2}-x^{2}}\le y\le \sqrt{a^{2}-x^{2}},
o que implica -\sqrt{a^{2}-x^{2}}\le y\le \sqrt{a^{2}-x^{2}} e, portanto, y^{2}\le a^{2}-x^{2}. Somando x^{2} aos dois lados obtém-se
x^{2}+y^{2}\le a^{2}.
Logo, a região de integração é o disco centrado na origem com raio a:
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
Passo 3
Troca para coordenadas polares. Definimos as variáveis polares (r,\theta) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Ao fazer esta mudança, o elemento de área dx\,dy transforma-se em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação do fator r: o elemento de área em polares é a área de um pequeno setor circular de raio r e espessura dr, cuja área aproximada é r\,d\theta\cdot dr; formalmente isso vem do jacobiano da transformação.
Passo 4
Determinar os limites em polares para a região R. Como R é o disco de raio a centrado na origem, r varia de 0 até a e \theta percorre a volta completa, ou seja de 0 até 2\pi. Portanto a integral em polares da função 1 sobre R fica