Determine os pontos do plano que satisfazem a equação
e assinale a alternativa que contenha essa equação:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a equação em coordenadas polares
e pede para determinar os pontos do plano que satisfazem essa equação e, em seguida, assinalar a alternativa que contenha a mesma equação em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes fornecidas: .
O que precisamos encontrar: a equação equivalente em e
(coordenadas cartesianas) e identificar qual alternativa corresponde a essa equação.
Informações relevantes fornecidas:
O que precisamos encontrar: a equação equivalente em
Passo 2
Vamos revisar as relações entre coordenadas polares e cartesianas (isso é essencial para fazer a conversão). Seja um ponto no plano com coordenadas polares
e coordenadas cartesianas
. As fórmulas que relacionam essas coordenadas são:
Explicação simples:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo
. As duas primeiras expressões vêm direto da definição trigonométrica num triângulo retângulo; a terceira vem de
.
Passo 3
Partimos da equação dada em polares:
Multiplicamos ambos os lados por
(isso é permitido; tem o cuidado que
pode ser zero, mas a manipulação algebraica vale para os pontos procurados):
Agora usamos as substituições das relações polares→cartesianas:
e
. Substituindo:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para uma forma reconhecível (a ideia é completar o quadrado em
). Começamos escrevendo:
Para completar o quadrado em
: lembrando que
. Aqui queremos obter
, então
implica
. Assim:
Substituindo na equação:
Isolando o quadrado:
Interpretação geométrica: essa é a equação de uma circunferência de centro
e raio
.
Passo 5
Agora compare a equação que obtivemos
com as alternativas do enunciado e localize a alternativa que contém exatamente essa igualdade.
Resposta
(E)