Determine os pontos do plano que satisfazem a equação \boldsymbol{r}=\mathbf{8} \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{\theta} e assinale a alternativa que contenha essa equação:
(A) (x-4)^{2}+y^{2}=4
(B) (x-2)^{2}+y^{2}=8
(C) (4 x-4)^{2}+4 y^{2}=16
(D) (x-16)^{2}+y^{2}=8
(E) (x-4)^{2}+y^{2}=16

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas polares \;r = 8\cos\theta\; e pede para determinar os pontos do plano que satisfazem essa equação e, em seguida, assinalar a alternativa que contenha a mesma equação em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes fornecidas: \;r = 8\cos\theta\;.
O que precisamos encontrar: a equação equivalente em x e y (coordenadas cartesianas) e identificar qual alternativa corresponde a essa equação.

Passo 2

Vamos revisar as relações entre coordenadas polares e cartesianas (isso é essencial para fazer a conversão). Seja um ponto no plano com coordenadas polares \;(r,\theta)\; e coordenadas cartesianas \;(x,y)\;. As fórmulas que relacionam essas coordenadas são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^{2} = x^{2}+y^{2}.
Explicação simples: \;r\; é a distância do ponto à origem, \;\theta\; é o ângulo com o eixo x. As duas primeiras expressões vêm direto da definição trigonométrica num triângulo retângulo; a terceira vem de \;r^{2}= (r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}.

Passo 3

Partimos da equação dada em polares:
r = 8\cos\theta.
Multiplicamos ambos os lados por r (isso é permitido; tem o cuidado que r pode ser zero, mas a manipulação algebraica vale para os pontos procurados):
r^{2} = 8r\cos\theta.
Agora usamos as substituições das relações polares→cartesianas: \;r^{2}=x^{2}+y^{2}\; e \;r\cos\theta = x\;. Substituindo:
x^{2}+y^{2} = 8x.

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para uma forma reconhecível (a ideia é completar o quadrado em x). Começamos escrevendo:
x^{2}-8x+y^{2}=0.
Para completar o quadrado em x: lembrando que (x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}. Aqui queremos obter x^{2}-8x, então 2a=8 implica a=4. Assim:
x^{2}-8x = (x-4)^{2}-4^{2} = (x-4)^{2}-16.
Substituindo na equação:
(x-4)^{2}-16 + y^{2} = 0.
Isolando o quadrado:
(x-4)^{2} + y^{2} = 16.
Interpretação geométrica: essa é a equação de uma circunferência de centro (4,0) e raio 4.

Passo 5

Agora compare a equação que obtivemos \;(x-4)^{2} + y^{2} = 16\; com as alternativas do enunciado e localize a alternativa que contém exatamente essa igualdade.

Resposta

(E)

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