Assinale a alternativa que contenha os pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto:
(A)
A\left(2, \frac{7 \pi}{3}\right) \text { e } B\left(2, \frac{\pi}{3}\right):
(B)
A(-3, \pi) \text { e } B(-3,2 \pi)
(C)
A\left(2, \frac{2 \pi}{3}\right) \text { e } B\left(2, \frac{7 \pi}{3}\right):
(D)
A(3,2 \pi) \text { e } B(-3,0)
(E)
A(3,0) \text { e } B(-3,0) \ldots

Passo 1

O enunciado pede: “Assinale a alternativa que contenha os pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto”. As alternativas são:
(A) A\!\left(2,\frac{7\pi}{3}\right) e B\!\left(2,\frac{\pi}{3}\right)
(B) A(-3,\pi) e B(-3,2\pi)
(C) A\!\left(2,\frac{2\pi}{3}\right) e B\!\left(2,\frac{7\pi}{3}\right)
(D) A(3,2\pi) e B(-3,0)
(E) A(3,0) e B(-3,0)
Informações relevantes dadas: cada item dá dois pares (r,\theta) em coordenadas polares e precisamos verificar se eles representam o mesmo ponto no plano.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): uma coordenada polar (r,\theta) representa o ponto no plano cartesiano com coordenadas
(x,y) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta).
Isso significa que dois pares (r,\theta) e (r',\theta') representam o mesmo ponto se, ao converter para (x,y), os resultados forem iguais.
Há duas propriedades úteis e padrão para reconhecer representações equivalentes sem converter totalmente para x,y:
  1. Se os raios são iguais r'=r, então os ângulos devem diferir por um múltiplo inteiro de 2\pi:
\theta' = \theta + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta e \sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta.
  1. Se os raios têm sinais opostos r'=-r, então podemos usar a identidade
(-r,\theta) \equiv (r,\theta+\pi),
porque -r\cos\theta = r\cos(\theta+\pi) e -r\sin\theta = r\sin(\theta+\pi). Em geral,
(r',\theta') = (-r,\theta') \text{ representa o mesmo ponto que } (r,\theta) \text{ quando } \theta' = \theta + (2k+1)\pi.
Observação especial: se r=0, o ângulo não importa (todos (0,\theta) representam a origem).
Vou usar essas duas regras para testar cada alternativa. Se em algum caso nenhuma regra for satisfeita, os pontos são diferentes.

Passo 3

Testando a alternativa (A): comparar \left(2,\frac{7\pi}{3}\right) e \left(2,\frac{\pi}{3}\right).
Os dois raios são iguais: r'=r=2. Verificamos a diferença dos ângulos:
\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi.
Isso é exatamente um múltiplo de 2\pi (com k=1). Pela regra 1, são a mesma representação do ponto. Logo (A) representa o mesmo ponto.

Passo 4

Testando a alternativa (B): comparar (-3,\pi) e (-3,2\pi).
Aqui os raios são iguais: r'=r=-3. Para igualdade com raio igual precisamos que os ângulos difiram por 2k\pi. Calculamos a diferença:
2\pi - \pi = \pi,
que não é múltiplo de 2\pi. Poderíamos também tentar transformar um raio negativo em raio positivo: usar (-3,\pi) \equiv (3,\pi+\pi)=(3,2\pi). Assim (-3,\pi) equivale a (3,2\pi). Já (-3,2\pi) equivale a (3,2\pi+\pi)=(3,3\pi). Agora compare (3,2\pi) e (3,3\pi): seus ângulos diferem por \pi, não por 2\pi. Portanto os dois pares não representam o mesmo ponto. Conclusão: (B) é falsa.

Passo 5

Testando a alternativa (C): comparar \left(2,\frac{2\pi}{3}\right) e \left(2,\frac{7\pi}{3}\right).
Raios iguais: r'=r=2. Diferença dos ângulos:
\frac{7\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.
\frac{5\pi}{3} não é um múltiplo inteiro de 2\pi (pois 2\pi = \frac{6\pi}{3}). Portanto a regra 1 não é satisfeita. Poderíamos verificar se um deles é equivalente por mudar sinal do raio, mas ambos já têm raio positivo igual, então a única possibilidade para igualdade é diferença múltipla de 2\pi. Logo (C) é falsa.

Passo 6

Testando a alternativa (D): comparar (3,2\pi) e (-3,0).
Primeiro transforme (3,2\pi). Como 2\pi = 0 + 2\pi, temos (3,2\pi) é equivalente a (3,0) (regra 1 com k=1). Agora transforme (-3,0) para raio positivo: (-3,0) \equiv (3,0+\pi) = (3,\pi) (regra 2 com k=0). Assim os representantes positivos são (3,0) e (3,\pi), que têm ângulos diferindo por \pi, não por 2\pi. Logo não representam o mesmo ponto. Portanto (D) é falsa.

Passo 7

Testando a alternativa (E): comparar (3,0) e (-3,0).
Como no passo anterior, (-3,0) \equiv (3,\pi). Assim comparamos (3,0) e (3,\pi): ângulos diferem por \pi, não por 2\pi. Portanto não são o mesmo ponto. Assim (E) é falsa.

Passo 8

Conclusão: entre as alternativas, apenas a (A) satisfaz a condição de representar o mesmo ponto (mesmo raio e ângulos que diferem por 2\pi). Vou responder só com a alternativa correta, como você pediu.

Resposta

(A)

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