Assinale a alternativa que contenha os pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
Passo 1
O enunciado pede: “Assinale a alternativa que contenha os pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto”. As alternativas são:
(A)
e
(B) e
(C) e
(D) e
(E) e
(B)
(C)
(D)
(E)
Informações relevantes dadas: cada item dá dois pares
em coordenadas polares e precisamos verificar se eles representam o mesmo ponto no plano.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): uma coordenada polar
representa o ponto no plano cartesiano com coordenadas
Isso significa que dois pares
e
representam o mesmo ponto se, ao converter para
, os resultados forem iguais.
Há duas propriedades úteis e padrão para reconhecer representações equivalentes sem converter totalmente para
:
- Se os raios são iguais
, então os ângulos devem diferir por um múltiplo inteiro de :
porque
e
.
- Se os raios têm sinais opostos
, então podemos usar a identidade
porque
e
. Em geral,
Observação especial: se
, o ângulo não importa (todos
representam a origem).
Vou usar essas duas regras para testar cada alternativa. Se em algum caso nenhuma regra for satisfeita, os pontos são diferentes.
Passo 3
Testando a alternativa (A): comparar
e
.
Os dois raios são iguais:
. Verificamos a diferença dos ângulos:
Isso é exatamente um múltiplo de
(com
). Pela regra 1, são a mesma representação do ponto. Logo (A) representa o mesmo ponto.
Passo 4
Testando a alternativa (B): comparar
e
.
Aqui os raios são iguais:
. Para igualdade com raio igual precisamos que os ângulos difiram por
. Calculamos a diferença:
que não é múltiplo de
. Poderíamos também tentar transformar um raio negativo em raio positivo: usar
. Assim
equivale a
. Já
equivale a
. Agora compare
e
: seus ângulos diferem por
, não por
. Portanto os dois pares não representam o mesmo ponto. Conclusão: (B) é falsa.
Passo 5
Testando a alternativa (C): comparar
e
.
Raios iguais:
. Diferença dos ângulos:
Passo 6
Testando a alternativa (D): comparar
e
.
Primeiro transforme
. Como
, temos
é equivalente a
(regra 1 com
). Agora transforme
para raio positivo:
(regra 2 com
). Assim os representantes positivos são
e
, que têm ângulos diferindo por
, não por
. Logo não representam o mesmo ponto. Portanto (D) é falsa.
Passo 7
Testando a alternativa (E): comparar
e
.
Como no passo anterior,
. Assim comparamos
e
: ângulos diferem por
, não por
. Portanto não são o mesmo ponto. Assim (E) é falsa.
Passo 8
Conclusão: entre as alternativas, apenas a (A) satisfaz a condição de representar o mesmo ponto (mesmo raio e ângulos que diferem por
). Vou responder só com a alternativa correta, como você pediu.
Resposta
(A)