( 2,5 pontos) Determine o polinômio interpolador pelo Método de Lagrange para os seguintes pontos: (-1,5),(3,-9),(5,14).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio interpolador pelos pontos (-1,5), (3,-9), (5,14) usando o Método de Lagrange.
Informações dadas: os três pares ordenados são (x_1,y_1)=(-1,5), (x_2,y_2)=(3,-9), (x_3,y_3)=(5,14).
A tarefa é construir o polinômio P(x) que passa exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Apresentação do método (fórmula) de forma clara e o que cada símbolo significa.
A fórmula de Lagrange para três pontos diz que o polinômio interpolador é
P(x)=\sum_{i=1}^{3} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\\ j\ne i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando: x_i e y_i são as coordenadas do i-ésimo ponto dado; L_i(x) é construído de modo que L_i(x_j)=0 para j\ne i e L_i(x_i)=1. Assim P(x) avaliado em x_i y_i, garantindo que o polinômio passe por todos os pontos.

Passo 3

Calcular L_1(x) para o ponto (x_1,y_1)=(-1,5). Usamos x_2=3 e x_3=5:
L_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}=\frac{(x-3)(x-5)}{(-1-3)(-1-5)}=\frac{(x-3)(x-5)}{(-4)(-6)}=\frac{(x-3)(x-5)}{24}.
Expandindo o numerador para facilitar contas futuras:
(x-3)(x-5)=x^2-8x+15,
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L_1(x)=\frac{x^2-8x+15}{24}.

Passo 4

Calcular L_2(x) para o ponto (x_2,y_2)=(3,-9). Usamos x_1=-1 e x_3=5:
L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}=\frac{(x+1)(x-5)}{(3-(-1))(3-5)}=\frac{(x+1)(x-5)}{4\cdot(-2)}=\frac{(x+1)(x-5)}{-8}.
Colocando de forma mais simples:
L_2(x)=-\frac{(x+1)(x-5)}{8}.
Expandindo o numerador:
(x+1)(x-5)=x^2-4x-5,
logo
L_2(x)=-\frac{x^2-4x-5}{8}.

Passo 5

Calcular L_3(x) para o ponto (x_3,y_3)=(5,14). Usamos x_1=-1 e x_2=3:
L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}=\frac{(x+1)(x-3)}{(5-(-1))(5-3)}=\frac{(x+1)(x-3)}{6\cdot2}=\frac{(x+1)(x-3)}{12}.
Expandindo:
(x+1)(x-3)=x^2-2x-3,
portanto
L_3(x)=\frac{x^2-2x-3}{12}.

Passo 6

Montar P(x)=y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+y_3L_3(x) substituindo y_1=5, y_2=-9, y_3=14:
P(x)=5\cdot\frac{x^2-8x+15}{24}+(-9)\cdot\left(-\frac{x^2-4x-5}{8}\right)+14\cdot\frac{x^2-2x-3}{12}.
Agora vamos simplificar termo a termo.
Termo A (vindo de y_1L_1):
A=5\cdot\frac{x^2-8x+15}{24}=\frac{5}{24}x^2-\frac{40}{24}x+\frac{75}{24}.
Reduzindo frações:
A=\frac{5}{24}x^2-\frac{5}{3}x+\frac{25}{8}.
Termo B (vindo de y_2L_2):
B=(-9)\cdot\left(-\frac{x^2-4x-5}{8}\right)=\frac{9}{8}(x^2-4x-5)=\frac{9}{8}x^2-\frac{36}{8}x-\frac{45}{8}.
Reduzindo:
B=\frac{9}{8}x^2-\frac{9}{2}x-\frac{45}{8}.
Termo C (vindo de y_3L_3):
C=14\cdot\frac{x^2-2x-3}{12}=\frac{14}{12}(x^2-2x-3)=\frac{7}{6}x^2-\frac{7}{3}x-\frac{7}{2}.

Passo 7

Somar A+B+C agrupando os coeficientes de x^2, de x e o termo constante.
Coeficiente de x^2:
\frac{5}{24}+\frac{9}{8}+\frac{7}{6}.
Passo a passo: transforme em denominador comum 24:
\frac{5}{24}+\frac{27}{24}+\frac{28}{24}=\frac{5+27+28}{24}=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}.
Coeficiente de x:
-\frac{5}{3}-\frac{9}{2}-\frac{7}{3}.
Agrupando os terços: -\frac{5}{3}-\frac{7}{3}=-\frac{12}{3}=-4. Então
-4-\frac{9}{2}=-\frac{8}{2}-\frac{9}{2}=-\frac{17}{2}.
Termo constante:
\frac{25}{8}-\frac{45}{8}-\frac{7}{2}.
Primeiro \frac{25}{8}-\frac{45}{8}=-\frac{20}{8}=-\frac{5}{2}. Portanto
-\frac{5}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{12}{2}=-6.
Portanto, somando tudo:
P(x)=\frac{5}{2}x^2-\frac{17}{2}x-6.

Passo 8

Verificação rápida (útil para prova): avaliar P(x) nos pontos dados para confirmar que coincide com os valores y_i.
Para x=-1:
P(-1)=\frac{5}{2}(-1)^2-\frac{17}{2}(-1)-6=\frac{5}{2}+\frac{17}{2}-6=\frac{22}{2}-6=11-6=5,
que é y_1.
Para x=3:
P(3)=\frac{5}{2}\cdot9-\frac{17}{2}\cdot3-6=\frac{45}{2}-\frac{51}{2}-6=-\frac{6}{2}-6=-3-6=-9,
que é y_2.
Para x=5:
P(5)=\frac{5}{2}\cdot25-\frac{17}{2}\cdot5-6=\frac{125}{2}-\frac{85}{2}-6=\frac{40}{2}-6=20-6=14,
que é y_3. Tudo confere — ótimo!

Resposta

\displaystyle P(x)=\frac{5}{2}x^2-\frac{17}{2}x-6

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