( 2,5 pontos) Determine o polinômio interpolador pelo Método de Lagrange para os seguintes pontos:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio interpolador pelos pontos
usando o Método de Lagrange.
Informações dadas: os três pares ordenados são ,
,
.
A tarefa é construir o polinômio que passa exatamente por esses três pontos.
Informações dadas: os três pares ordenados são
A tarefa é construir o polinômio
Passo 2
Apresentação do método (fórmula) de forma clara e o que cada símbolo significa.
A fórmula de Lagrange para três pontos diz que o polinômio interpolador é
A fórmula de Lagrange para três pontos diz que o polinômio interpolador é
onde cada polinômio base
é dado por
Explicando:
e
são as coordenadas do
-ésimo ponto dado;
é construído de modo que
para
e
. Assim
avaliado em
dá
, garantindo que o polinômio passe por todos os pontos.
Passo 3
Calcular
para o ponto
. Usamos
e
:
Expandindo o numerador para facilitar contas futuras:
logo
Passo 4
Calcular
para o ponto
. Usamos
e
:
Colocando de forma mais simples:
Expandindo o numerador:
logo
Passo 5
Calcular
para o ponto
. Usamos
e
:
Expandindo:
portanto
Passo 6
Montar
substituindo
,
,
:
Agora vamos simplificar termo a termo.
Termo
(vindo de
):
Reduzindo frações:
Termo
(vindo de
):
Reduzindo:
Termo
(vindo de
):
Passo 7
Somar
agrupando os coeficientes de
, de
e o termo constante.
Coeficiente de
:
Passo a passo: transforme em denominador comum
:
Coeficiente de
:
Agrupando os terços:
. Então
Termo constante:
Primeiro
. Portanto
Portanto, somando tudo:
Passo 8
Verificação rápida (útil para prova): avaliar
nos pontos dados para confirmar que coincide com os valores
.
Para
:
que é
.
Para
:
que é
.
Para
:
que é
. Tudo confere — ótimo!