Pergunta 2
O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado por:
Calcule o módulo do campo elétrico (em
) no ponto (
).
Dado: escreva o resultado com uma casa decimal (se a casa decimal for diferente de zero).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta nos dá uma função de potencial elétrico $ V(x, y, z) = 2xy^{2} + yz - xz $ e pede para calcular o módulo do campo elétrico no ponto
. Pra isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, já que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial $ V $ através da relação:
Aqui, $ \nabla V $ é o gradiente do potencial, que envolve as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente $ \nabla V $. Isso significa encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a cada uma das coordenadas:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada componente do gradiente no ponto dado
. Note que as coordenadas são $ x = 0,1 , m $, $ y = 1,1 , m $ e $ z = -0,3 , m $.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 5
Agora, aplicando a relação $ \vec{E} = -\nabla V $, temos:
Passo 6
Para encontrar o módulo do campo elétrico $ |\vec{E}| $, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente $ 2,9 , \mathrm{N} / \mathrm{C} $.