6 Qual é o período de um pêndulo simples constituído por uma bola suspensa por uma corda \operatorname{com} 2,0 \mathrm{~m} de comprimento?
a) 2,0 \mathrm{~s}
b) 2,8 \mathrm{~s}
c) 3,6 \mathrm{~s}
d) 4,4 \mathrm{~s}
e) 5,2 \mathrm{~s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: comprimento da corda do pêndulo L = 2,0\\ \text{m}.
  • Pergunta: determinar o período do pêndulo simples e escolher a alternativa correta entre:
    a) 2,0\\ \text{s}
    b) 2,8\\ \text{s}
    c) 3,6\\ \text{s}
    d) 4,4\\ \text{s}
    e) 5,2\\ \text{s}
É isso: só um pêndulo simples com L=2,0\\ \text{m} e queremos o período.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (passo a passo, sem pular nada).
Para pequenas oscilações (quando o ângulo é pequeno, em radianos), o movimento angular de um pêndulo simples pode ser aproximado por um movimento harmônico simples. Isso vem da equação do movimento angular:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0,
onde:
  • \theta(t) é o deslocamento angular em função do tempo,
  • \ddot{\theta} é a segunda derivada de \theta em relação ao tempo (aceleração angular),
  • g é a aceleração da gravidade (em \text{m}/\text{s}^2),
  • L é o comprimento da corda (em m).
Para ângulos pequenos usa-se a aproximação \sin\theta \approx \theta (essa é a linearização de seno para \theta em radianos). Substituindo isso na equação obtemos:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
que é a equação do movimento harmônico simples com frequência angular \omega dada por
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
A partir daí o período T (tempo de uma oscilação completa) é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Explicando cada símbolo outra vez, bem claro:
  • T é o período que queremos (segundos).
  • L é o comprimento da corda (metros).
  • g é a gravidade (usamos g\approx 9,8\\ \text{m}/\text{s}^2 como valor padrão na Terra).
    Observação importante: nessa fórmula o período não depende da massa da bola nem (para pequenas oscilações) da amplitude — só depende de L e g.

Passo 3

Aplicando a fórmula com L = 2,0\\ \text{m} e g = 9,8\\ \text{m}/\text{s}^2.
Calcule primeiro a razão \dfrac{L}{g}:
\frac{L}{g}=\frac{2,0}{9,8}=0,2040816\ldots \approx 0,20408.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{L}{g}}=\sqrt{0,20408}\approx 0,45175.
Multiplicando por 2\pi:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \approx 2\pi\cdot 0,45175.
Usando \pi\approx 3,1416 e 2\pi\approx 6,2832:
T \approx 6,2832\cdot 0,45175 \approx 2,8399\\ \text{s}\approx 2,84\\ \text{s}.
Para uma verificação rápida de cabeça, se em vez de g=9,8 usar g=10 (estimação fácil), temos
T \approx 2\pi\sqrt{\frac{2,0}{10}}=2\pi\sqrt{0,2}=2\pi\cdot 0,4472\approx 2,81\\ \text{s},
valor bem próximo ao anterior, o que confirma que a resposta correta deve ser a alternativa próxima de 2,8\\ \text{s}.

Passo 4

Interpretação final e escolha: o período calculado é T\approx 2,84\\ \text{s}, que corresponde à alternativa b) 2,8\\ \text{s}.
Dica de prova: se estiver sem calculadora, use g\approx 10 e lembre que \sqrt{0,2}\approx 0,447 e 2\pi\approx 6,28 — isso já leva direto à resposta aproximada 2,8\\ \text{s}. E relaxa: o resultado não depende da massa nem da amplitude (desde que as oscilações sejam pequenas), então você não precisa desses dados.
Força! Você conseguiu — agora marque a alternativa correta.

Resposta

b) 2,8\\ \text{s}

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