5 Um bloco de massa
está preso a uma das extremidades de uma mola de constante elástica
. A outra extremidade da mola está presa a uma parede. O bloco está livre para deslizar em um piso sem atrito. Quando o bloco é deslocado em relação à posição em que a mola não está distendida nem comprimida e depois é liberado, passa a oscilar com frequência
. Qual das seguintes mudanças aumenta a frequência do movimento?
a) Reduzir a massa do bloco.
b) Aumentar o comprimento da mola.
c) Reduzir a constante elástica da mola.
d) Reduzir o deslocamento inicial da mola.
e) Aumentar o deslocamento inicial da mola.
a) Reduzir a massa do bloco.
b) Aumentar o comprimento da mola.
c) Reduzir a constante elástica da mola.
d) Reduzir o deslocamento inicial da mola.
e) Aumentar o deslocamento inicial da mola.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Um bloco de massa
ligado a uma mola de constante elástica . - A outra extremidade da mola está presa a uma parede.
- O bloco desliza num piso sem atrito.
- O bloco é deslocado da posição em que a mola não está distendida nem comprimida (posição de equilíbrio) e liberado; o movimento resultante tem frequência
.
- Um bloco de massa
-
O que o enunciado pede:
- Entre as alternativas (a) a (e), identificar qual mudança aumenta a frequência do movimento.
Passo 2
Vamos escrever a lei que descreve a força elástica e a segunda lei de Newton (a base da modelagem).
-
Lei de Hooke: a mola exerce uma força elástica proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio:onde
é o deslocamento do bloco medido a partir da posição de equilíbrio, é a constante elástica (unidade ), e o sinal negativo indica que a força é restauradora (aponta para o equilíbrio). -
Segunda lei de Newton: a soma das forças resulta na massa vezes a aceleração:Aqui
é a aceleração do bloco (segunda derivada temporal de ).
No problema não há atrito nem outras forças horizontais, então a única força horizontal é a da mola.
Passo 3
Monte a equação do movimento combinando as duas relações:
- Substituindo
em , obtemos - Reescrevendo em forma padrão:
Essa é a equação diferencial do movimento harmônico simples (MHS) para um sistema massa-mola linear.
Passo 4
Resolver a equação padrão e extrair a frequência.
-
A solução geral da equação
é uma oscilação senoidal com frequência angular Aquitem unidade e caracteriza quão “rápida” é a oscilação em termos angulares. -
A frequência (número de oscilações por segundo, em Hz) relaciona-se com
por
Explicando as variáveis:
-
é a frequência do movimento (Hz). -
é a constante elástica da mola (quanto maior , mais “rígida” é a mola). -
é a massa do bloco (quanto maior , mais “lento” tende a ser o movimento).
Passo 5
Interprete como cada grandeza afeta
.
-
Dependência de
: -
depende de por . Assim, se diminuir, a razão aumenta e logo aumenta. - Exemplo numérico rápido: se
e , então Se reduzir para , ou seja, a frequência aumentou.
-
-
Dependência de
: -
depende de por . Se diminuir (mola mais fraca), diminui; se aumentar, aumenta.
-
-
Dependência do deslocamento inicial (amplitude):
- A fórmula
não contém a amplitude. Para uma mola ideal (regime linear), o período/frequência do MHS é independente da amplitude. Portanto reduzir ou aumentar o deslocamento inicial NÃO altera .
- A fórmula
-
Dependência do comprimento da mola:
- Na fórmula derivada não aparece o comprimento nem a posição de repouso da mola. A constante
é a quantidade que aparece. Se a alternativa dissesse explicitamente "alterar a constante elástica ", a influência seria clara. A simples frase “aumentar o comprimento da mola” normalmente, num enunciado padrão como este, é entendida como não alterar a constante elástica (ou seja, não trocar a mola por outra com outro ). Assim, nesse contexto a frequência NÃO muda ao variar somente o comprimento estático da mola. (Se, ao trocar por uma mola mais longa, isso mudasse efetivamente o valor de , então o efeito seria via mudança de .)
- Na fórmula derivada não aparece o comprimento nem a posição de repouso da mola. A constante
Passo 6
Analise cada alternativa do enunciado com base nas conclusões acima:
-
(a) Reduzir a massa do bloco.
- Pela relação
, reduzir aumenta . Portanto (a) aumenta a frequência.
- Pela relação
-
(b) Aumentar o comprimento da mola.
- Na formulação padrão do problema, o comprimento por si só não aparece na expressão de
; portanto aumentar o comprimento (sem alterar ) não altera . Logo (b) não aumenta a frequência.
- Na formulação padrão do problema, o comprimento por si só não aparece na expressão de
-
(c) Reduzir a constante elástica da mola.
- Como
, reduzir diminui . Portanto (c) não aumenta a frequência (faz o oposto).
- Como
-
(d) Reduzir o deslocamento inicial da mola.
- A amplitude não entra na fórmula de
do MHS linear, então não altera . Logo (d) não aumenta a frequência.
- A amplitude não entra na fórmula de
-
(e) Aumentar o deslocamento inicial da mola.
- Mesmo raciocínio do item (d): a amplitude não altera
. Logo (e) não aumenta a frequência.
- Mesmo raciocínio do item (d): a amplitude não altera
Resposta
a) Reduzir a massa do bloco.