5 Um bloco de massa M está preso a uma das extremidades de uma mola de constante elástica k. A outra extremidade da mola está presa a uma parede. O bloco está livre para deslizar em um piso sem atrito. Quando o bloco é deslocado em relação à posição em que a mola não está distendida nem comprimida e depois é liberado, passa a oscilar com frequência f. Qual das seguintes mudanças aumenta a frequência do movimento?
a) Reduzir a massa do bloco.
b) Aumentar o comprimento da mola.
c) Reduzir a constante elástica da mola.
d) Reduzir o deslocamento inicial da mola.
e) Aumentar o deslocamento inicial da mola.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um bloco de massa \,M\, ligado a uma mola de constante elástica \,k\,.
    • A outra extremidade da mola está presa a uma parede.
    • O bloco desliza num piso sem atrito.
    • O bloco é deslocado da posição em que a mola não está distendida nem comprimida (posição de equilíbrio) e liberado; o movimento resultante tem frequência \,f\,.
  • O que o enunciado pede:
    • Entre as alternativas (a) a (e), identificar qual mudança aumenta a frequência do movimento.

Passo 2

Vamos escrever a lei que descreve a força elástica e a segunda lei de Newton (a base da modelagem).
  • Lei de Hooke: a mola exerce uma força elástica proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio:
    F_{\text{mola}} = -k x,
    onde \,x(t)\, é o deslocamento do bloco medido a partir da posição de equilíbrio, \,k\, é a constante elástica (unidade \mathrm{N/m}), e o sinal negativo indica que a força é restauradora (aponta para o equilíbrio).
  • Segunda lei de Newton: a soma das forças resulta na massa vezes a aceleração:
    M \, \ddot{x} = F_{\text{resultante}}.
    Aqui \ddot{x} é a aceleração do bloco (segunda derivada temporal de \,x).
No problema não há atrito nem outras forças horizontais, então a única força horizontal é a da mola.

Passo 3

Monte a equação do movimento combinando as duas relações:
  • Substituindo F_{\text{mola}} = -k x em M\ddot{x}=F, obtemos M \, \ddot{x} = -k x.
  • Reescrevendo em forma padrão: \ddot{x} + \frac{k}{M}\,x = 0.
Essa é a equação diferencial do movimento harmônico simples (MHS) para um sistema massa-mola linear.

Passo 4

Resolver a equação padrão e extrair a frequência.
  • A solução geral da equação \ddot{x} + \dfrac{k}{M}x = 0 é uma oscilação senoidal com frequência angular
    \omega = \sqrt{\frac{k}{M}}.
    Aqui \omega tem unidade \mathrm{rad/s} e caracteriza quão “rápida” é a oscilação em termos angulares.
  • A frequência (número de oscilações por segundo, em Hz) relaciona-se com \omega por
    f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}.
Explicando as variáveis:
  • \,f\, é a frequência do movimento (Hz).
  • \,k\, é a constante elástica da mola (quanto maior \,k\,, mais “rígida” é a mola).
  • \,M\, é a massa do bloco (quanto maior \,M\,, mais “lento” tende a ser o movimento).

Passo 5

Interprete como cada grandeza afeta \,f.
  • Dependência de \,M\,:
    • f depende de \,M\, por f\propto 1/\sqrt{M}. Assim, se \,M\, diminuir, a razão \sqrt{k/M} aumenta e logo \,f\, aumenta.
    • Exemplo numérico rápido: se \,k=100\\ \mathrm{N/m} e \,M=1\\ \mathrm{kg}, então f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{100}{1}}=\frac{10}{2\pi}\approx1{,}59\\ \text{Hz}.Se reduzir \,M\, para 0{,}25\\ \mathrm{kg}, f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{100}{0{,}25}}=\frac{20}{2\pi}\approx3{,}18\\ \text{Hz},ou seja, a frequência aumentou.
  • Dependência de \,k\,:
    • f depende de \,k\, por f\propto\sqrt{k}. Se \,k\, diminuir (mola mais fraca), \,f\, diminui; se \,k\, aumentar, \,f\, aumenta.
  • Dependência do deslocamento inicial (amplitude):
    • A fórmula f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}} não contém a amplitude. Para uma mola ideal (regime linear), o período/frequência do MHS é independente da amplitude. Portanto reduzir ou aumentar o deslocamento inicial NÃO altera \,f\,.
  • Dependência do comprimento da mola:
    • Na fórmula derivada não aparece o comprimento nem a posição de repouso da mola. A constante \,k\, é a quantidade que aparece. Se a alternativa dissesse explicitamente "alterar a constante elástica \,k\,", a influência seria clara. A simples frase “aumentar o comprimento da mola” normalmente, num enunciado padrão como este, é entendida como não alterar a constante elástica (ou seja, não trocar a mola por outra com outro k). Assim, nesse contexto a frequência NÃO muda ao variar somente o comprimento estático da mola. (Se, ao trocar por uma mola mais longa, isso mudasse efetivamente o valor de \,k\,, então o efeito seria via mudança de \,k.)

Passo 6

Analise cada alternativa do enunciado com base nas conclusões acima:
  • (a) Reduzir a massa do bloco.
    • Pela relação f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}}, reduzir \,M\, aumenta \,f\,. Portanto (a) aumenta a frequência.
  • (b) Aumentar o comprimento da mola.
    • Na formulação padrão do problema, o comprimento por si só não aparece na expressão de f; portanto aumentar o comprimento (sem alterar k) não altera f. Logo (b) não aumenta a frequência.
  • (c) Reduzir a constante elástica da mola.
    • Como f\propto\sqrt{k}, reduzir \,k\, diminui f. Portanto (c) não aumenta a frequência (faz o oposto).
  • (d) Reduzir o deslocamento inicial da mola.
    • A amplitude não entra na fórmula de f do MHS linear, então não altera f. Logo (d) não aumenta a frequência.
  • (e) Aumentar o deslocamento inicial da mola.
    • Mesmo raciocínio do item (d): a amplitude não altera f. Logo (e) não aumenta a frequência.

Resposta

a) Reduzir a massa do bloco.

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