O período próximo ao feriado nacional de 14 de julho na França costuma ser uma das épocas mais movimentadas para viagens durante o verão europeu. De acordo com o Instituto Francês de Mobilidade, mais de 40 milhões de franceses realizam deslocamentos de 80 quilômetros ou mais durante esse período festivo. Para evitar os congestionamentos nas principais rodovias, muitos viajantes optam por iniciar suas viagens no dia 13 de julho, véspera do feriado.
Esse comportamento tem despertado o interesse de pesquisadores em transporte e logística, que buscam entender os padrões de deslocamento da população em datas comemorativas. Além disso, os dados são úteis para planejar intervenções viárias, campanhas de segurança e estratégias de turismo.
Em uma pesquisa recente, 1100 viajantes foram selecionados aleatoriamente durante o feriado da Queda da Bastilha, e 360 deles informaram que pretendiam iniciar sua viagem no dia 13 de julho.
a) Calcule um intervalo de confiança de 95 \% para a proporção verdadeira de viajantes que iniciam sua viagem no dia 13 de julho.
b) O Instituto Francês de Mobilidade afirma que 32 \% dos viajantes iniciam suas viagens no dia 13 de julho. Com base no intervalo de confiança obtido no item (a), há evidências que indiquem que essa proporção seja diferente? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados observados: \;n=1100 viajantes amostrados e \;x=360 disseram que pretendem iniciar a viagem no dia 13 de julho.
  • Pergunta (a): Calcular um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira de viajantes que iniciam a viagem no dia 13 de julho.
  • Pergunta (b): Verificar, com base no intervalo do item (a), se há evidências de que a proporção verdadeira seja diferente de \;32\% (isto é, de \;0,32).

Passo 2

Primeiro vamos calcular a proporção amostral (a estimativa pontual). A proporção amostral \hat{p} é dada por
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Substituindo os valores:
\hat{p}=\frac{360}{1100}=0,3272727\ldots
Vou usar \hat{p}\approx 0,32727 nas contas seguintes (mas manterei precisão suficiente).
Explicação didática rápida: \hat{p} é simplesmente a fração da amostra que respondeu “sim” — é a melhor estimativa pontual para a proporção verdadeira p.

Passo 3

Antes de usar a aproximação normal para construir o intervalo de confiança, verificamos as condições de validade (regra prática): precisamos que n\hat{p} e n(1-\hat{p}) sejam razoavelmente grandes (geralmente \ge 10).
Calculamos:
n\hat{p}=1100\cdot 0,32727\ldots = 360,
n(1-\hat{p})=1100\cdot(1-0,32727\ldots)=1100\cdot 0,672727\ldots = 740.
Como \;360 e \;740 são muito maiores que \;10, a aproximação normal (Teorema do Limite Central aplicado à proporção amostral) é adequada.
Explicação didática: a distribuição de \hat{p} é aproximadamente normal com média p e variância p(1-p)/n quando a amostra é grande; checar n\hat{p} e n(1-\hat{p}) é uma forma prática de garantir isso.

Passo 4

A fórmula do intervalo de confiança aproximado de 100(1-\alpha)\% para uma proporção é
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral;
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para 95\%, \;z_{0,975}=1,96);
  • a raiz quadrada \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral.
Explicação didática: o termo dentro da raiz mede a variabilidade esperada de \hat{p} em amostras diferentes; multiplicando pelo z obtemos a margem de erro correspondente ao nível de confiança desejado.

Passo 5

Calculamos o erro padrão usando \hat{p}:
\hat{p}(1-\hat{p})=\frac{360\cdot 740}{1100^2}=\frac{266400}{1210000}\approx 0,220165289.
Então
\text{erro padrão }=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0,220165289}{1100}}\approx\sqrt{0,0002001502636}\approx 0,014144.ã
Explicação didática: dividir por n reduz a variância porque amostras maiores dão estimativas mais precisas; a raiz transforma variância em desvio padrão (unidade da proporção).

Passo 6

Calculemos a margem de erro com z_{0,975}=1,96:
\text{margem} = 1,96\cdot 0,014144\approx 0,02771.
Agora os limites do intervalo de confiança de 95\% são:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{margem}=0,32727\ldots - 0,02771\approx 0,29956,
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{margem}=0,32727\ldots + 0,02771\approx 0,35498.
Arredondando para três casas decimais, obtemos o intervalo
\bigl[\,0,300\;;\;0,355\,\bigr].

Passo 7

Interpretação do intervalo: com procedimento que tem 95\% de confiança, o intervalo estimado para a verdadeira proporção de viajantes que começam a viagem no dia 13 de julho é aproximadamente \;[0,300;\;0,355]. Isso significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma em cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção p.
Dica prática para prova: ao apresentar resultado, dê o intervalo em porcentagem também: 30,0\% a 35,5\%.

Passo 8

Agora respondemos (b): o Instituto afirma que a proporção é \;0,32 (ou 32\%). Uma forma simples e direta de checar é ver se \;0,32 está dentro do intervalo de confiança de 95\%. Vimos que o intervalo é \;[0,300;\;0,355], e \;0,32 está dentro desse intervalo. Portanto, não há evidências, ao nível de 5\%, de que a proporção verdadeira seja diferente de \;0,32.
Se você quiser ver com um teste: o valor-p do teste bilateral com hipótese nula p_0=0,32 usa a estatística
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Calculando rapidamente (apenas para confirmar):
\text{SE}_{H_0}=\sqrt{\frac{0,32\cdot 0,68}{1100}}\approx 0,014065,
z\approx\frac{0,32727-0,32}{0,014065}\approx 0,52,
o que corresponde a um valor-p bilateral bem maior que 0,05 (aprox. 0,60). Isso confirma a conclusão: falha-se em rejeitar H_0; não há evidência de diferença.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 95\%: [0,300;\;0,355].
(b) Não há evidências de que a proporção seja diferente de 0,32; 0,32 está dentro do intervalo de confiança de 95\%.

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