O período próximo ao feriado nacional de 14 de julho na França costuma ser uma das épocas mais movimentadas para viagens durante o verão europeu. De acordo com o Instituto Francês de Mobilidade, mais de 40 milhões de franceses realizam deslocamentos de 80 quilômetros ou mais durante esse período festivo. Para evitar os congestionamentos nas principais rodovias, muitos viajantes optam por iniciar suas viagens no dia 13 de julho, véspera do feriado.
Esse comportamento tem despertado o interesse de pesquisadores em transporte e logística, que buscam entender os padrões de deslocamento da população em datas comemorativas. Além disso, os dados são úteis para planejar intervenções viárias, campanhas de segurança e estratégias de turismo.
Em uma pesquisa recente, 1100 viajantes foram selecionados aleatoriamente durante o feriado da Queda da Bastilha, e 360 deles informaram que pretendiam iniciar sua viagem no dia 13 de julho.
a) Calcule um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de viajantes que iniciam sua viagem no dia 13 de julho.
b) O Instituto Francês de Mobilidade afirma que
dos viajantes iniciam suas viagens no dia 13 de julho. Com base no intervalo de confiança obtido no item (a), há evidências que indiquem que essa proporção seja diferente? Justifique sua resposta.
a) Calcule um intervalo de confiança de
b) O Instituto Francês de Mobilidade afirma que
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados observados:
viajantes amostrados e disseram que pretendem iniciar a viagem no dia 13 de julho. - Pergunta (a): Calcular um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de viajantes que iniciam a viagem no dia 13 de julho. - Pergunta (b): Verificar, com base no intervalo do item (a), se há evidências de que a proporção verdadeira seja diferente de
(isto é, de ).
Passo 2
Primeiro vamos calcular a proporção amostral (a estimativa pontual). A proporção amostral
é dada por
Substituindo os valores:
Vou usar
nas contas seguintes (mas manterei precisão suficiente).
Explicação didática rápida:
é simplesmente a fração da amostra que respondeu “sim” — é a melhor estimativa pontual para a proporção verdadeira
.
Passo 3
Antes de usar a aproximação normal para construir o intervalo de confiança, verificamos as condições de validade (regra prática): precisamos que
e
sejam razoavelmente grandes (geralmente
).
Calculamos:
Calculamos:
Como
e
são muito maiores que
, a aproximação normal (Teorema do Limite Central aplicado à proporção amostral) é adequada.
Explicação didática: a distribuição de
é aproximadamente normal com média
e variância
quando a amostra é grande; checar
e
é uma forma prática de garantir isso.
Passo 4
A fórmula do intervalo de confiança aproximado de
para uma proporção é
onde:
-
é a proporção amostral; -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para , ); - a raiz quadrada
é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral.
Explicação didática: o termo dentro da raiz mede a variabilidade esperada de
em amostras diferentes; multiplicando pelo
obtemos a margem de erro correspondente ao nível de confiança desejado.
Passo 5
Calculamos o erro padrão usando
:
Então
Explicação didática: dividir por
reduz a variância porque amostras maiores dão estimativas mais precisas; a raiz transforma variância em desvio padrão (unidade da proporção).
Passo 6
Calculemos a margem de erro com
:
Agora os limites do intervalo de confiança de
são:
Arredondando para três casas decimais, obtemos o intervalo
Passo 7
Interpretação do intervalo: com procedimento que tem
de confiança, o intervalo estimado para a verdadeira proporção de viajantes que começam a viagem no dia 13 de julho é aproximadamente
. Isso significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma em cada amostra, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira proporção
.
Dica prática para prova: ao apresentar resultado, dê o intervalo em porcentagem também:
a
.
Passo 8
Agora respondemos (b): o Instituto afirma que a proporção é
(ou
). Uma forma simples e direta de checar é ver se
está dentro do intervalo de confiança de
. Vimos que o intervalo é
, e
está dentro desse intervalo. Portanto, não há evidências, ao nível de
, de que a proporção verdadeira seja diferente de
.
Se você quiser ver com um teste: o valor-p do teste bilateral com hipótese nula
usa a estatística
Calculando rapidamente (apenas para confirmar):
o que corresponde a um valor-p bilateral bem maior que
(aprox.
). Isso confirma a conclusão: falha-se em rejeitar
; não há evidência de diferença.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
:
.
(b) Não há evidências de que a proporção seja diferente de
;
está dentro do intervalo de confiança de
.