Quatro esferas, com massas
e
estão localizadas nas seguintes coordenadas:
,
e
respectivamente. Qual a força gravitacional resultante
sobre a esfera de 350 kg , devido às outras massas?
Passo 1
O enunciado pede a força gravitacional resultante sobre a esfera de massa
devido às outras três esferas. Dados fornecidos (peguei as coordenadas e massas do enunciado):
O objetivo é calcular o vetor resultante
, que é a soma vetorial das forças gravitacionais que
exercem sobre
.
Passo 2
Vou usar a lei da gravitação universal de Newton em forma vetorial. A força sobre a massa
devido a uma massa
(em coordenadas) pode ser escrita como
Explicando cada parte:
-
é a constante gravitacional, usarei . -
e são as massas envolvidas. -
é o vetor que vai da posição de até a posição de . -
é o comprimento desse vetor (a distância entre as massas). - A forma com divisão por
transforma o produto escalar em componente vetorial na direção correta (pois a magnitude cai com e o vetor tem direção ).
No final somamos
Passo 3
Converto as coordenadas de centímetros para metros (pois
usa metros):
Calculo os vetores
(vetoress que vão da esfera 2 até as demais):
As distâncias (módulos) são:
Passo 4
Calculo agora as magnitudes das forças usando a fórmula da magnitude
(vou mostrar a conexão com a forma vetorial depois):
Para
:
Faço as contas passo a passo:
Para
:
Passos:
Para
:
Passos:
Observação importante: notei que
e
têm a mesma magnitude porque os números resultaram iguais numericamente (veja a divisão).
Passo 5
Agora converto essas magnitudes em vetores, lembrando que a força é atrativa (aponta de
para cada massa):
- Para
: o vetor é puramente na direção . Logo
- Para
: o vetor aponta para a esquerda ( ). Portanto
- Para
: o vetor aponta para a direita ( ). Portanto
Passo 6
Somando as componentes x e y separadamente:
Componente
:
As duas forças na horizontal se anulam exatamente (mesma magnitude, sentidos opostos).
Componente
:
Portanto o vetor resultante é
ou seja, uma força para cima (direção
) de magnitude
.