Quatro esferas, com massas m_{1}=400 \mathrm{~kg}, m_{2}=350 \mathrm{~kg}, m_{3}=2.000 \mathrm{~kg} e m_{4}=500 \mathrm{~kg} estão localizadas nas seguintes coordenadas: (0,50 \mathrm{~cm}), (0,0),(-80 \mathrm{~cm}, 0) e (40 \mathrm{~cm}, 0) respectivamente. Qual a força gravitacional resultante \mathbf{F}_{2} sobre a esfera de 350 kg , devido às outras massas?

Passo 1

O enunciado pede a força gravitacional resultante sobre a esfera de massa m_{2}=350\\ \mathrm{kg} devido às outras três esferas. Dados fornecidos (peguei as coordenadas e massas do enunciado):
m_{1}=400\\ \mathrm{kg},\quad \mathbf{r}_{1}=(0,\;50\\ \mathrm{cm}),
m_{2}=350\\ \mathrm{kg},\quad \mathbf{r}_{2}=(0,\;0),
m_{3}=2000\\ \mathrm{kg},\quad \mathbf{r}_{3}=(-80\\ \mathrm{cm},\;0),
m_{4}=500\\ \mathrm{kg},\quad \mathbf{r}_{4}=(40\\ \mathrm{cm},\;0).
O objetivo é calcular o vetor resultante \mathbf{F}_{2}, que é a soma vetorial das forças gravitacionais que m_{1},m_{3},m_{4} exercem sobre m_{2}.

Passo 2

Vou usar a lei da gravitação universal de Newton em forma vetorial. A força sobre a massa m_{2} devido a uma massa m_{k} (em coordenadas) pode ser escrita como
\mathbf{F}_{2k}=G\frac{m_{2}m_{k}}{|\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2}|^{3}}(\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2}).
Explicando cada parte:
  • G é a constante gravitacional, usarei G=6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}.
  • m_{2} e m_{k} são as massas envolvidas.
  • \mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2} é o vetor que vai da posição de m_{2} até a posição de m_{k}.
  • |\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2}| é o comprimento desse vetor (a distância entre as massas).
  • A forma com divisão por |\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2}|^{3} transforma o produto escalar em componente vetorial na direção correta (pois a magnitude cai com 1/r^{2} e o vetor tem direção \mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2}).
No final somamos
\mathbf{F}_{2}=\mathbf{F}_{21}+\mathbf{F}_{23}+\mathbf{F}_{24}.

Passo 3

Converto as coordenadas de centímetros para metros (pois G usa metros):
\mathbf{r}_{1}=(0,\;0{,}50\\ \mathrm{m}),\quad \mathbf{r}_{2}=(0,\;0{,}00\\ \mathrm{m}),
\mathbf{r}_{3}=(-0{,}80\\ \mathrm{m},\;0{,}00\\ \mathrm{m}),\quad \mathbf{r}_{4}=(0{,}40\\ \mathrm{m},\;0{,}00\\ \mathrm{m}).
Calculo os vetores \mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{2} (vetoress que vão da esfera 2 até as demais):
\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}=(0,\;0{,}50)\\ \mathrm{m},
\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}=(-0{,}80,\;0)\\ \mathrm{m},
\mathbf{r}_{4}-\mathbf{r}_{2}=(0{,}40,\;0)\\ \mathrm{m}.
As distâncias (módulos) são:
r_{21}=|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}|=0{,}50\\ \mathrm{m},
r_{23}=|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}|=0{,}80\\ \mathrm{m},
r_{24}=|\mathbf{r}_{4}-\mathbf{r}_{2}|=0{,}40\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculo agora as magnitudes das forças usando a fórmula da magnitude F=G\,m_{2}m_{k}/r^{2} (vou mostrar a conexão com a forma vetorial depois):
Para m_{1}:
F_{21}=G\frac{m_{2}m_{1}}{r_{21}^{2}} =6{,}674\times10^{-11}\frac{350\cdot400}{(0{,}50)^{2}}.
Faço as contas passo a passo:
350\cdot400=140\,000,
(0{,}50)^{2}=0{,}25,
\frac{140\,000}{0{,}25}=560\,000,
F_{21}=6{,}674\times10^{-11}\cdot560\,000 \approx3{,}74\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
Para m_{3}:
F_{23}=G\frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}^{2}} =6{,}674\times10^{-11}\frac{350\cdot2000}{(0{,}80)^{2}}.
Passos:
350\cdot2000=700\,000,
(0{,}80)^{2}=0{,}64,
\frac{700\,000}{0{,}64}=1\,093\,750,
F_{23}=6{,}674\times10^{-11}\cdot1\,093\,750 \approx7{,}30\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
Para m_{4}:
F_{24}=G\frac{m_{2}m_{4}}{r_{24}^{2}} =6{,}674\times10^{-11}\frac{350\cdot500}{(0{,}40)^{2}}.
Passos:
350\cdot500=175\,000,
(0{,}40)^{2}=0{,}16,
\frac{175\,000}{0{,}16}=1\,093\,750\quad(\text{o mesmo que acima}),
F_{24}=6{,}674\times10^{-11}\cdot1\,093\,750 \approx7{,}30\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
Observação importante: notei que F_{23} e F_{24} têm a mesma magnitude porque os números resultaram iguais numericamente (veja a divisão).

Passo 5

Agora converto essas magnitudes em vetores, lembrando que a força é atrativa (aponta de m_{2} para cada massa):
  • Para m_{1}: o vetor \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}=(0,\;0{,}50) é puramente na direção +\hat{y}. Logo
\mathbf{F}_{21}=(0,\;F_{21})\approx\bigl(0,\;3{,}74\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{N}.
  • Para m_{3}: o vetor \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}=(-0{,}80,\;0) aponta para a esquerda ( -\hat{x}). Portanto
\mathbf{F}_{23}=(-F_{23},\;0)\approx\bigl(-7{,}30\times10^{-5},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.
  • Para m_{4}: o vetor \mathbf{r}_{4}-\mathbf{r}_{2}=(0{,}40,\;0) aponta para a direita ( +\hat{x}). Portanto
\mathbf{F}_{24}=(F_{24},\;0)\approx\bigl(7{,}30\times10^{-5},\;0\bigr)\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Somando as componentes x e y separadamente:
Componente x:
F_{x}=(-7{,}30\times10^{-5})+(7{,}30\times10^{-5})=0\\ \mathrm{N}.
As duas forças na horizontal se anulam exatamente (mesma magnitude, sentidos opostos).
Componente y:
F_{y}=3{,}74\times10^{-5}+0+0=3{,}74\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
Portanto o vetor resultante é
\mathbf{F}_{2}=(0,\;3{,}74\times10^{-5})\\ \mathrm{N},
ou seja, uma força para cima (direção +\hat{y}) de magnitude 3{,}74\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.

Resposta

\mathbf{F}_{2}=\bigl(0,\;3{,}74\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{N}
\;(\text{magnitude }3{,}74\times10^{-5}\\ \mathrm{N}\text{, direção }+\hat{y})çã

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