17E. (a) A partir dos valores da massa e do raio da Lua, dados no Apêndice
, calcule a aceleração gravitacional na superfície daquele satélite. (b) Qual será o período de um “pêndulo que bate o segundo” (período
na superfície da Terra) na superfície lunar?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a aceleração gravitacional na superfície da Lua a partir da massa e do raio da Lua (valores fornecidos no Apêndice C). Vou usar explicitamente esses dados do Apêndice C: massa da Lua
e raio da Lua . Também uso a constante gravitacional universal . - (b) Determinar o período de um pêndulo que tem período
na superfície da Terra quando levado à superfície lunar (ou seja, mantém-se o mesmo comprimento do pêndulo, muda-se apenas a gravidade).
Os dados relevantes listados:
e para a Terra uso a gravidade padrão
Passo 2
Entendendo e aplicando a fórmula da gravitação para achar
na superfície:
- A aceleração gravitacional na superfície de um corpo esférico de massa
e raio é dada pela fórmula (Lei da Gravitação Universal combinada com a 2ª lei de Newton):
Explicando as variáveis:
-
é a constante gravitacional universal ( ). -
é a massa do corpo (em ). -
é o raio do corpo (em ). - O resultado
tem unidade .
Vou aplicar essa fórmula à Lua, substituindo os valores listados no Passo 1.
Passo 3
Cálculo numérico de
:
- Primeiro calculo
:
- Agora calculo
:
- Finalmente
Interpretação: a gravidade na superfície lunar é cerca de
, ou aproximadamente
vezes a gravidade da Terra (
).
Passo 4
Entendendo o pêndulo simples e a relação entre período e gravidade:
- Para um pêndulo simples de pequeno ângulo (aproximação
em radianos), a equação do movimento lineariza para um oscilador harmônico simples cujo período é
onde:
-
é o período (tempo de uma oscilação completa), -
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração gravitacional local. - Se um pêndulo tem período
na Terra e o mesmo comprimento é levado para a Lua, o novo período satisfaz
pois
para comprimento fixo. Essa relação é prática porque evita calcular
explicitamente.
Passo 5
Calcular o período do pêndulo na Lua usando a razão:
- Dados:
, , . - Então
- Calculo interno:
portanto
(Se preferir obter o mesmo resultado encontrando primeiro o comprimento:
, e depois calcular
, chega-se ao mesmo
.)
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido:
- Conclusão física: um pêndulo ajustado para “bater o segundo” na Terra (período
) na Lua teria um período cerca de — ou seja, bem mais lento, porque a gravidade lunar é muito menor. - Você está indo bem! Esse tipo de problema mistura fórmula direta (gravidade) com uma relação de proporcionalidade (período do pêndulo). Na prova, identifique esses passos: usar
e , e escolha se vale mais a pena usar a razão de períodos para economizar contas.
Resposta
(a)
(b)
(b)