17E. (a) A partir dos valores da massa e do raio da Lua, dados no Apêndice C, calcule a aceleração gravitacional na superfície daquele satélite. (b) Qual será o período de um “pêndulo que bate o segundo” (período = 2,0 \mathrm{~s} na superfície da Terra) na superfície lunar?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a aceleração gravitacional na superfície da Lua a partir da massa e do raio da Lua (valores fornecidos no Apêndice C). Vou usar explicitamente esses dados do Apêndice C: massa da Lua \displaystyle M_{\text{Lua}} = 7{,}35\times10^{22}\\ \mathrm{kg} e raio da Lua \displaystyle R_{\text{Lua}} = 1{,}737\times10^{6}\\ \mathrm{m}. Também uso a constante gravitacional universal \displaystyle G = 6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • (b) Determinar o período de um pêndulo que tem período 2{,}0\\ \mathrm{s} na superfície da Terra quando levado à superfície lunar (ou seja, mantém-se o mesmo comprimento do pêndulo, muda-se apenas a gravidade).
Os dados relevantes listados:
M_{\text{Lua}} = 7{,}35\times10^{22}\\ \mathrm{kg}, \qquad R_{\text{Lua}} = 1{,}737\times10^{6}\\ \mathrm{m}, \qquad G = 6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},
e para a Terra uso a gravidade padrão
g_{\oplus} = 9{,}80\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 2

Entendendo e aplicando a fórmula da gravitação para achar g na superfície:
  • A aceleração gravitacional na superfície de um corpo esférico de massa M e raio R é dada pela fórmula (Lei da Gravitação Universal combinada com a 2ª lei de Newton):
g = \frac{G\,M}{R^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • \displaystyle G é a constante gravitacional universal ( \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
  • \displaystyle M é a massa do corpo (em \mathrm{kg}).
  • \displaystyle R é o raio do corpo (em \mathrm{m}).
  • O resultado g tem unidade \mathrm{m\,s^{-2}}.
Vou aplicar essa fórmula à Lua, substituindo os valores listados no Passo 1.

Passo 3

Cálculo numérico de \displaystyle g_{\text{Lua}}:
  • Primeiro calculo R_{\text{Lua}}^{2}:
R_{\text{Lua}}^{2} = \bigl(1{,}737\times10^{6}\bigr)^{2} = 1{,}737^{2}\times10^{12} \approx 3{,}017\times10^{12}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora calculo G\,M_{\text{Lua}}:
G\,M_{\text{Lua}} = \bigl(6{,}67\times10^{-11}\bigr)\bigl(7{,}35\times10^{22}\bigr) = 6{,}67\cdot7{,}35 \times10^{11} \approx 49{,}0\times10^{11} = 4{,}90\times10^{12}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
  • Finalmente
g_{\text{Lua}} = \frac{G\,M_{\text{Lua}}}{R_{\text{Lua}}^{2}} \approx \frac{4{,}90\times10^{12}}{3{,}017\times10^{12}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Interpretação: a gravidade na superfície lunar é cerca de 1{,}62\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, ou aproximadamente 0{,}165 vezes a gravidade da Terra ( 1{,}62/9{,}80\approx0{,}165).

Passo 4

Entendendo o pêndulo simples e a relação entre período e gravidade:
  • Para um pêndulo simples de pequeno ângulo (aproximação \sin\theta\approx\theta em radianos), a equação do movimento lineariza para um oscilador harmônico simples cujo período é
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde:
  • \displaystyle T é o período (tempo de uma oscilação completa),
  • \displaystyle L é o comprimento do pêndulo,
  • \displaystyle g é a aceleração gravitacional local.
  • Se um pêndulo tem período T_{\oplus} na Terra e o mesmo comprimento L é levado para a Lua, o novo período T_{\text{Lua}} satisfaz
\frac{T_{\text{Lua}}}{T_{\oplus}} = \sqrt{\frac{g_{\oplus}}{g_{\text{Lua}}}},
pois T\propto g^{-1/2} para comprimento fixo. Essa relação é prática porque evita calcular L explicitamente.

Passo 5

Calcular o período do pêndulo na Lua usando a razão:
  • Dados: T_{\oplus} = 2{,}0\\ \mathrm{s}, g_{\oplus} = 9{,}80\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, g_{\text{Lua}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Então
T_{\text{Lua}} = T_{\oplus}\sqrt{\frac{g_{\oplus}}{g_{\text{Lua}}}} = 2{,}0\;\sqrt{\frac{9{,}80}{1{,}62}}.
  • Calculo interno:
\frac{9{,}80}{1{,}62}\approx 6{,}05, \qquad \sqrt{6{,}05}\approx 2{,}46,
portanto
T_{\text{Lua}}\approx 2{,}0\times2{,}46 \approx 4{,}92\\ \mathrm{s}.
(Se preferir obter o mesmo resultado encontrando primeiro o comprimento: L=g_{\oplus}\,(T_{\oplus}/(2\pi))^{2}\approx9{,}80\cdot(1/\pi)^{2}\approx0{,}993\\ \mathrm{m}, e depois calcular T_{\text{Lua}}=2\pi\sqrt{L/g_{\text{Lua}}}, chega-se ao mesmo \approx4{,}92\\ \mathrm{s}.)

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido:
  • Conclusão física: um pêndulo ajustado para “bater o segundo” na Terra (período 2{,}0\\ \mathrm{s}) na Lua teria um período cerca de 4{,}9\\ \mathrm{s} — ou seja, bem mais lento, porque a gravidade lunar é muito menor.
  • Você está indo bem! Esse tipo de problema mistura fórmula direta (gravidade) com uma relação de proporcionalidade (período do pêndulo). Na prova, identifique esses passos: usar g=GM/R^{2} e T=2\pi\sqrt{L/g}, e escolha se vale mais a pena usar a razão de períodos para economizar contas.

Resposta

(a) g_{\text{Lua}}\approx 1{,}62\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
(b) T_{\text{Lua}}\approx 4{,}92\\ \mathrm{s}

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