O peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória com distribuição normal de probabilidade, com média de 60 kg e desvio padrão de 4 kg . Um carregamento de 200 caixas de peças é feito. Seja X o peso do carregamento e X tendo distribuição normal, determine:
(b) X_{\alpha} tal que P\left(X \geq X_{\alpha}\right)=0,973

Passo 1

Resumo do enunciado: cada caixa pesa W\sim N(\mu=60,\sigma=4) kg e temos 200 caixas independentes. O peso total do carregamento é
X = \sum_{i=1}^{200} W_i,
logo X também é normal. A questão pede X_{\alpha} tal que
P\bigl(X \ge X_{\alpha}\bigr)=0,973.

Passo 2

Calculamos os parâmetros de X. Como soma de 200 variáveis idênticas e independentes,
E[X] = 200\cdot 60 = 12000,\quad \mathrm{Var}(X) = 200\cdot 4^2 = 3200,
portanto
\sigma_X = \sqrt{3200} = 56,5685\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Queremos
P(X \ge X_{\alpha}) = 0,973 \iff P(X \le X_{\alpha}) = 1 - 0,973 = 0,027.

Passo 4

Padronizando em Z\sim N(0,1):
P\bigl(Z \le \tfrac{X_{\alpha}-12000}{56,5685}\bigr) = 0,027.
Da tabela da normal, o quantil de ordem 0,027 é
z \approx -1,92.

Passo 5

Voltando a X:
\frac{X_{\alpha}-12000}{56,5685} = -1,92 \;\implies\; X_{\alpha} = 12000 + (-1,92)\cdot 56,5685 \approx 11891,3\\ \text{kg}.

Resposta

X_{\alpha}\approx11891{,}3\\ \mathrm{kg}.

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