Um criador possui 5000 cabeças de vaca leiteira. Sabendo-se que cada vaca produz em média 3 litros por dia, obedecendo a uma distribuição normal, com desvio padrão de 0,5 litro, calcular a probabilidade de produzir, diariamente:
(a) mais de 15.110 litros;

Passo 1

O enunciado dá uma manada com n=5000 vacas, cada uma produzindo em um dia um volume X_i de leite que obedece a uma distribuição normal com média \mu=3 litros e desvio padrão \sigma=0,5 litro. Queremos a probabilidade de que o total diário
Y = \sum_{i=1}^{5000} X_i
seja maior que 15110 litros. O conteúdo aqui é a soma de variáveis aleatórias normais, que resulta em outra normal.

Passo 2

Pela propriedade da soma de normais independentes, a variável Y também é normal com
\text{média: }\mu_Y = n\,\mu = 5000 \times 3 = 15000,é
\text{variância: }\sigma_Y^2 = n\,\sigma^2 = 5000 \times (0,5)^2 = 1250,â
e desvio padrão
\sigma_Y = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}\approx 35{,}355.

Passo 3

Para calcular
P\bigl(Y > 15110\bigr)
padronizamos Y definindo
Z = \frac{Y - \mu_Y}{\sigma_Y}\sim N(0,1).
O valor crítico é
z_0 = \frac{15110 - 15000}{35{,}355}\approx \frac{110}{35{,}355}\approx 3{,}11.

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão,
\Phi(3{,}11)\approx 0{,}9991,
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P\bigl(Y > 15110\bigr) = 1 - \Phi(3{,}11)\approx 1 - 0{,}9991 = 0{,}0009.

Resposta

A probabilidade de produzir mais de 15110 litros em um dia é aproximadamente 0{,}0009 (isto é, 9\times 10^{-4}).

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