(Peso 2,O) Calcule a integral imprópria abaixo, indicando se ela converge ou diverge:
\int_{0}^{\infty} e^{-s x} \cos (x) d x, \quad s>0
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o valor da integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(x)\,dx,
e dizer se ela converge ou diverge. A informação dada é que s>0. Nada mais é solicitado.
Passo 2
Primeiro vamos pensar sobre convergência: uma integral imprópria no intervalo [0,\infty) converge se a área sob a curva for finita. Uma maneira simples e forte de garantir convergência é mostrar convergência absoluta, isto é, verificar se
\int_{0}^{\infty} \big|e^{-s x}\cos(x)\big|\,dx
é finita. Note que para todo x vale |\cos(x)|\le 1, então
\big|e^{-s x}\cos(x)\big| \le e^{-s x}.
A integral de referência é a exponencial decrescente:
\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx.
Vou calcular essa integral rápida e didaticamente: para s>0,
Como s>0, e^{-s x}\to 0 quando x\to\infty. Então o valor é
0 -\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s},
que é finito. Assim, pelo teste da comparação, \int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(x)\,dx converge absolutamente para s>0. Conclusão parcial: a integral converge (e de maneira absoluta) quando s>0.
Passo 3
Agora vamos calcular o valor da integral. Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\cos(x)\,dx.
Vou usar o método clássico de integração por partes aplicado duas vezes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções adequadas (com v sendo uma primitiva de dv).
Passo 4
Aplicando integração por partes pela primeira vez, escolho
porque a primitiva de e^{-s x} é -\frac{1}{s}e^{-s x} (verificação: derivando -\frac{1}{s}e^{-s x} dá e^{-s x}). Agora uso a fórmula:
I = \left. \cos(x)\left(-\frac{1}{s}e^{-s x}\right)\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{s}e^{-s x}\right)\cdot\big(-\sin(x)\big)\,dx.
Simplificando sinais e limites: no termo de fronteira, quando x\to\infty temos e^{-s x}\to 0 (pois s>0), então o termo em \infty vale 0; no limite inferior x=0 temos \cos(0)=1 e e^{0}=1. Assim
Novamente o termo de fronteira é zero porque \sin(0)=0 e e^{-s x}\to 0 quando x\to\infty. Assim o primeiro termo é 0. O integral restante tem um sinal negativo que cancela com o que já existe, resultando em