Calcular as derivadas parciais de
ordem.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem.
Informações relevantes que temos:
.
As derivadas que vamos encontrar são: (primeira ordem) e
(segunda ordem).
Informações relevantes que temos:
As derivadas que vamos encontrar são:
Passo 2
Relembrando as regras essenciais que vamos usar (explicando passo a passo):\n
- Definição de derivada parcial: ao derivar em relação a
tratamos como constante; ao derivar em relação a tratamos como constante.\n - Regra da cadeia (para funções compostas): se
e , então
Aqui
. Ou seja, ao derivar uma exponencial, mantemos a exponencial e multiplicamos pela derivada do expoente.\n
3) Regra do produto: se , então
3) Regra do produto: se
Usaremos isso quando a expressão for produto de duas funções de
e
.\n
Vou aplicar essas regras explicitamente em cada passo, sem pular etapas.
Vou aplicar essas regras explicitamente em cada passo, sem pular etapas.
Passo 3
Preparação: identifique o expoente como função auxiliar. Defina
Então
.\n
Calcule a derivada parcial primeira em relação a usando a regra da cadeia. Primeiro compute
:
Calcule a derivada parcial primeira em relação a
pois
é constante ao derivar em
.\n
Agora aplique a regra da cadeia:
Agora aplique a regra da cadeia:
Portanto
Passo 4
Calcule a derivada parcial primeira em relação a
. Novamente use a regra da cadeia. Primeiro compute
:
pois
é constante ao derivar em
.\n
Aplicando a regra da cadeia:
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Agora começamos as derivadas de segunda ordem. Calcule
, derivando
em relação a
.\n
Trate como produto de
e
. Use a regra do produto:
Trate
Agora combine:
Simplifique os termos:
Você pode fatorar
:
ou ainda
Passo 6
Calcule
: derive
agora em relação a
.\n
Novamente veja como produto ,
. Agora derivadas parciais em
:
Novamente veja como produto
Use a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando:
Passo 7
Calcule
: derive
em relação a
.\n
Aqui é produto de
e
. Derivadas em
:
Aqui
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
que é exatamente igual a
, como esperado quando as derivadas segundas são contínuas (teorema de Clairaut). Podemos escrever
Passo 8
Calcule
: derive
em relação a
.\n
Aqui é constante ao derivar em
, então
Aqui
usando a regra da cadeia no expoente. Portanto