Calcular as derivadas parciais de 1^{2} ordem.
f(x, y)=e^{x^{2} y}.

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=e^{x^{2}y}\; e pede para calcular as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem.
Informações relevantes que temos:
\;f(x,y)=e^{x^{2}y}\;.
As derivadas que vamos encontrar são: \;f_{x},\;f_{y}\; (primeira ordem) e \;f_{xx},\;f_{xy},\;f_{yx},\;f_{yy}\; (segunda ordem).

Passo 2

Relembrando as regras essenciais que vamos usar (explicando passo a passo):\n
  1. Definição de derivada parcial: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.\n
  2. Regra da cadeia (para funções compostas): se \;g(t)=e^{t}\; e \;t=u(x,y)\;, então
\frac{\partial}{\partial x}g(u(x,y)) = g'(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui g'(t)=e^{t}. Ou seja, ao derivar uma exponencial, mantemos a exponencial e multiplicamos pela derivada do expoente.\n
3) Regra do produto: se h(x,y)=A(x,y)\,B(x,y), então
\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial A}{\partial x}\,B + A\,\frac{\partial B}{\partial x}.
Usaremos isso quando a expressão for produto de duas funções de x e y.\n
Vou aplicar essas regras explicitamente em cada passo, sem pular etapas.

Passo 3

Preparação: identifique o expoente como função auxiliar. Defina
u(x,y)=x^{2}y.
Então \;f(x,y)=e^{u(x,y)}.\n
Calcule a derivada parcial primeira em relação a x usando a regra da cadeia. Primeiro compute \partial u/\partial x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x\,y,
pois y é constante ao derivar em x.\n
Agora aplique a regra da cadeia:
f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2x\,y).
Portanto
f_{x}=2x\,y\,e^{x^{2}y}.

Passo 4

Calcule a derivada parcial primeira em relação a y. Novamente use a regra da cadeia. Primeiro compute \partial u/\partial y:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2},
pois x^{2} é constante ao derivar em y.\n
Aplicando a regra da cadeia:
f_{y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}.
Portanto
f_{y}=x^{2}e^{x^{2}y}.

Passo 5

Agora começamos as derivadas de segunda ordem. Calcule \;f_{xx}\;, derivando \;f_{x}=2x\,y\,e^{x^{2}y}\; em relação a x.\n
Trate f_{x} como produto de A(x,y)=2x\,y e B(x,y)=e^{x^{2}y}. Use a regra do produto:
\frac{\partial A}{\partial x}=2y,
\frac{\partial B}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2x\,y)\quad\text{(regra da cadeia aplicada ao expoente)}.
Agora combine:
f_{xx}=A_{x}B + A B_{x} = 2y\cdot e^{x^{2}y} + (2x\,y)\cdot\big(e^{x^{2}y}\cdot 2x\,y\big).
Simplifique os termos:
f_{xx}=2y\,e^{x^{2}y} + 4x^{2}y^{2}\,e^{x^{2}y}.
Você pode fatorar e^{x^{2}y}:
f_{xx}=e^{x^{2}y}\big(2y + 4x^{2}y^{2}\big)
ou ainda
f_{xx}=2y\,e^{x^{2}y}\big(1+2x^{2}y\big).

Passo 6

Calcule \;f_{xy}\;: derive \;f_{x}=2x\,y\,e^{x^{2}y}\; agora em relação a y.\n
Novamente veja como produto A(x,y)=2x\,y, B(x,y)=e^{x^{2}y}. Agora derivadas parciais em y:
\frac{\partial A}{\partial y}=2x,
\frac{\partial B}{\partial y}=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}\quad\text{(regra da cadeia)}.
Use a regra do produto:
f_{xy}=A_{y}B + A B_{y} = 2x\cdot e^{x^{2}y} + (2x\,y)\cdot\big(e^{x^{2}y}\cdot x^{2}\big).
Simplificando:
f_{xy}=2x\,e^{x^{2}y} + 2x^{3}y\,e^{x^{2}y}.
Fatorando:
f_{xy}=2x\,e^{x^{2}y}\big(1+x^{2}y\big).

Passo 7

Calcule \;f_{yx}\;: derive \;f_{y}=x^{2}e^{x^{2}y}\; em relação a x.\n
Aqui f_{y} é produto de C(x,y)=x^{2} e D(x,y)=e^{x^{2}y}. Derivadas em x:
\frac{\partial C}{\partial x}=2x,
\frac{\partial D}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2x\,y).
Aplicando a regra do produto:
f_{yx}=C_{x}D + C D_{x} = 2x\cdot e^{x^{2}y} + x^{2}\cdot\big(e^{x^{2}y}\cdot 2x\,y\big).
Simplificando:
f_{yx}=2x\,e^{x^{2}y} + 2x^{3}y\,e^{x^{2}y},
que é exatamente igual a f_{xy}, como esperado quando as derivadas segundas são contínuas (teorema de Clairaut). Podemos escrever
f_{yx}=2x\,e^{x^{2}y}\big(1+x^{2}y\big).

Passo 8

Calcule \;f_{yy}\;: derive \;f_{y}=x^{2}e^{x^{2}y}\; em relação a y.\n
Aqui x^{2} é constante ao derivar em y, então
f_{yy}=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x^{2}y}\big)=x^{2}\cdot\big(e^{x^{2}y}\cdot x^{2}\big),
usando a regra da cadeia no expoente. Portanto
f_{yy}=x^{4}e^{x^{2}y}.

Resposta

f_{x}=2x\,y\,e^{x^{2}y}
f_{y}=x^{2}e^{x^{2}y}
f_{xx}=e^{x^{2}y}\big(2y+4x^{2}y^{2}\big)
f_{xy}=2x\,e^{x^{2}y}\big(1+x^{2}y\big)
f_{yx}=2x\,e^{x^{2}y}\big(1+x^{2}y\big)
f_{yy}=x^{4}e^{x^{2}y}

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