Nos exercícios 8 a 27, calcular as derivadas parciais de
ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem da função
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função é
. - Observação importante: o logaritmo natural
está definido somente quando . Portanto trabalhamos no domínio , que implica e . - Precisamos encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem
e . - Precisamos encontrar as derivadas parciais de 2ª ordem
, e as mistas e .
Passo 2
Definição e regras que vamos usar (explicação didática e concreta):
- Derivada parcial em relação a
: para calcular tratamos como constante e diferenciamos como função de só. - Regras de diferenciação que usaremos:
- Regra do produto: se temos
com constante, . - Regra da cadeia: se temos
, então . - Derivada do logaritmo: para
, .
- Regra do produto: se temos
- Aplicação prática: na expressão
, ao derivar em relação a usamos a regra da cadeia com . Como é constante, . Então a derivada será .
Agora fazemos o cálculo passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
:
- Partes da função em relação a
: e . - Derivando
em relação a (tratando como constante):
- Derivando
em relação a usando regra da cadeia:
- Somando as partes:
Passo 4
Cálculo de
:
- De modo análogo, tratamos
como constante. - Derivando
em relação a :
- Derivando
em relação a pela regra da cadeia:
- Somando:
Passo 5
Agora vamos às derivadas parciais de 2ª ordem. Começamos por
.
- Temos
. - Derivando essa expressão em relação a
(com constante): -
porque é constante. -
.
-
- Logo,
Passo 6
Cálculo de
:
- Temos
. - Derivando em relação a
(com constante): -
. -
.
-
- Portanto,
Passo 7
Cálculo das derivadas mistas
e
:
Método 1: derivar
em relação a
.
- Lembrando
. - Derivando em relação a
: -
. -
(porque é tratado como constante).
-
- Logo,
Método 2: derivar
em relação a
.
- Lembrando
. - Derivando em relação a
: -
. -
.
-
- Logo,
Observação teórica curta: as duas derivadas mistas coincidem (
) porque as segundas derivadas são contínuas no domínio
, então a igualdade
vale (teorema de Schwarz/Clairaut).