Nos exercícios 8 a 27, calcular as derivadas parciais de 1^{2} ordem.
f(u, v)=u v-\ln (u v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem da função
f(u,v)=u v-\ln(u v).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função é f(u,v)=u v-\ln(u v).
  • Observação importante: o logaritmo natural \ln(u v) está definido somente quando u v>0. Portanto trabalhamos no domínio \{(u,v)\mid u v>0\}, que implica u\neq0 e v\neq0.
  • Precisamos encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v}.
  • Precisamos encontrar as derivadas parciais de 2ª ordem \dfrac{\partial^2 f}{\partial u^2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2} e as mistas \dfrac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} e \dfrac{\partial^2 f}{\partial v\partial u}.

Passo 2

Definição e regras que vamos usar (explicação didática e concreta):
  • Derivada parcial em relação a u: para calcular \dfrac{\partial f}{\partial u} tratamos v como constante e diferenciamos f como função de u só.
  • Regras de diferenciação que usaremos:
    • Regra do produto: se temos g(u)=u\cdot v com v constante, \dfrac{d}{du}(u v)=v.
    • Regra da cadeia: se temos h(u)=\ln(\varphi(u)), então \dfrac{d}{du}\ln(\varphi(u))=\dfrac{\varphi'(u)}{\varphi(u)}.
    • Derivada do logaritmo: para \ln(x), \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Aplicação prática: na expressão -\ln(u v), ao derivar em relação a u usamos a regra da cadeia com \varphi(u)=u v. Como v é constante, \varphi'(u)=v. Então a derivada será -\dfrac{v}{u v}=-\dfrac{1}{u}.
Agora fazemos o cálculo passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial u}:
  • Partes da função em relação a u: u v e -\ln(u v).
  • Derivando u v em relação a u (tratando v como constante):
\frac{\partial}{\partial u}(u v)=v.
  • Derivando -\ln(u v) em relação a u usando regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial u}\big(-\ln(u v)\big)=-\frac{1}{u v}\cdot\frac{\partial}{\partial u}(u v)=-\frac{1}{u v}\cdot v=-\frac{1}{u}.
  • Somando as partes:
\frac{\partial f}{\partial u}=v-\frac{1}{u}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial v}:
  • De modo análogo, tratamos u como constante.
  • Derivando u v em relação a v:
\frac{\partial}{\partial v}(u v)=u.
  • Derivando -\ln(u v) em relação a v pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial v}\big(-\ln(u v)\big)=-\frac{1}{u v}\cdot\frac{\partial}{\partial v}(u v)=-\frac{1}{u v}\cdot u=-\frac{1}{v}.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial v}=u-\frac{1}{v}.

Passo 5

Agora vamos às derivadas parciais de 2ª ordem. Começamos por \dfrac{\partial^2 f}{\partial u^2}.
  • Temos \dfrac{\partial f}{\partial u}=v-\dfrac{1}{u}.
  • Derivando essa expressão em relação a u (com v constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial u}(v)=0 porque v é constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial u}\big(-\dfrac{1}{u}\big)=-\dfrac{d}{du}(u^{-1})=-\big(-u^{-2}\big)=u^{-2}=\dfrac{1}{u^{2}}.
  • Logo,
\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}=\frac{1}{u^{2}}.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2}:
  • Temos \dfrac{\partial f}{\partial v}=u-\dfrac{1}{v}.
  • Derivando em relação a v (com u constante):
    • \dfrac{\partial}{\partial v}(u)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial v}\big(-\dfrac{1}{v}\big)=\dfrac{1}{v^{2}}.
  • Portanto,
\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=\frac{1}{v^{2}}.

Passo 7

Cálculo das derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial u\partial v} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial v\partial u}:
Método 1: derivar \dfrac{\partial f}{\partial u} em relação a v.
  • Lembrando \dfrac{\partial f}{\partial u}=v-\dfrac{1}{u}.
  • Derivando em relação a v:
    • \dfrac{\partial}{\partial v}(v)=1.
    • \dfrac{\partial}{\partial v}\big(-\dfrac{1}{u}\big)=0 (porque u é tratado como constante).
  • Logo,
\frac{\partial^{2} f}{\partial v\partial u}=1.
Método 2: derivar \dfrac{\partial f}{\partial v} em relação a u.
  • Lembrando \dfrac{\partial f}{\partial v}=u-\dfrac{1}{v}.
  • Derivando em relação a u:
    • \dfrac{\partial}{\partial u}(u)=1.
    • \dfrac{\partial}{\partial u}\big(-\dfrac{1}{v}\big)=0.
  • Logo,
\frac{\partial^{2} f}{\partial u\partial v}=1.
Observação teórica curta: as duas derivadas mistas coincidem ( 1) porque as segundas derivadas são contínuas no domínio u v>0, então a igualdade \dfrac{\partial^{2} f}{\partial u\partial v}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial v\partial u} vale (teorema de Schwarz/Clairaut).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=v-\frac{1}{u}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}=u-\frac{1}{v}\n
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}=\frac{1}{u^{2}}\n
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\n
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u\partial v}=\frac{\partial^{2} f}{\partial v\partial u}=1

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