4. (Peso 2,0) Calcule a integral inprópria abaixo, indicando se ela converge ou diverge:

\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos (x) d x, \quad s>0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x)\,dx
e indicar se ela converge ou diverge. As informações do enunciado são:
  • A função integranda é e^{-x}\cos(x).
  • O intervalo de integração é [0,\infty), logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A função e^{-x}\cos(x) é contínua em [0,\infty) (pois é produto de funções contínuas).
  • Está implícito que é preciso decidir sobre convergência e também encontrar o valor numérico da integral, se ela convergir.

Passo 2

Vou primeiro discutir a convergência (de forma didática). Uma forma simples de testar é ver se a integral converge absolutamente. Lembrando:
  • Uma integral \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx converge absolutamente se \int_{0}^{\infty} |f(x)|\,dx converge.
  • Se converge absolutamente então converge (convergência forte).
Aqui usamos a desigualdade |\cos(x)|\le 1 para obter
|e^{-x}\cos(x)| \le e^{-x}.
Como a função e^{-x} tem integral finita no semi-eixo positivo, ou seja
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = \Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{\infty} = 1,
pela comparação temos que
\int_{0}^{\infty} |e^{-x}\cos(x)|\,dx \le \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = 1<\infty.
Portanto a integral dada converge absolutamente e, em particular, converge.

Passo 3

Agora vou calcular o valor da integral. Escolho a técnica de integração por partes (método básico e direto). Vou primeiro obter uma primitiva genérica por partes e depois avaliar o limite.
A fórmula de integração por partes é: para funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Vou aplicar duas integrações por partes em sequência.
Defina a primitiva incompleta
I(x)=\int e^{-x}\cos(x)\,dx.
Primeira integração por partes: escolha u=\cos(x) e dv=e^{-x}\,dx. Então du=-\sin(x)\,dx e v=\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}. Aplicando a fórmula,
I(x)=\cos(x)\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot(-\sin(x))\,dx
ou seja
I(x) = -e^{-x}\cos(x) - \int e^{-x}\sin(x)\,dx.
Chame a integral à direita de
J(x)=\int e^{-x}\sin(x)\,dx.

Passo 4

Calcule J(x) por integração por partes novamente. Agora escolha u=\sin(x) e dv=e^{-x}\,dx. Então du=\cos(x)\,dx e v=-e^{-x}. Assim
J(x)=\sin(x)\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot\cos(x)\,dx
ou seja
J(x) = -e^{-x}\sin(x) + \int e^{-x}\cos(x)\,dx.
Note que a última integral é exatamente I(x). Portanto
J(x) = -e^{-x}\sin(x) + I(x).

Passo 5

Volte para a expressão de I(x) do Passo 3 e substitua J(x):
I(x) = -e^{-x}\cos(x) - J(x) = -e^{-x}\cos(x) -\bigl(-e^{-x}\sin(x) + I(x)\bigr).
Desenvolvendo,
I(x) = -e^{-x}\cos(x) + e^{-x}\sin(x) - I(x).
Agrupando os termos com I(x),
2I(x) = e^{-x}\bigl(\sin(x) - \cos(x)\bigr).
Logo uma primitiva é
I(x) = \tfrac{1}{2}e^{-x}\bigl(\sin(x) - \cos(x)\bigr) + C,
onde C é constante de integração. Esta expressão pode ser verificada diferenciando (opcional).

Passo 6

Agora calcule a integral imprópria definida. Seja I o valor pedido:
I = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x)\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} e^{-x}\cos(x)\,dx.
Pela primitiva encontrada,
\int_{0}^{R} e^{-x}\cos(x)\,dx = \Bigl[\tfrac{1}{2}e^{-x}\bigl(\sin(x) - \cos(x)\bigr)\Bigr]_{0}^{R}.
Avalie os extremos:
  • Para x=R, o termo é \tfrac{1}{2}e^{-R}(\sin R - \cos R). Como \sin R e \cos R são limitados em módulo por 1, esse termo tende a 0 quando R\to\infty, pois e^{-R}\to 0.
  • Para x=0, \tfrac{1}{2}e^{0}(\sin 0 - \cos 0)=\tfrac{1}{2}(0-1)=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
I = \lim_{R\to\infty}\Bigl(\tfrac{1}{2}e^{-R}(\sin R - \cos R)\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) = 0 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Resumo e comentário final curto: a integral converge absolutamente (pela comparação com \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx) e o valor calculado por integração por partes é \tfrac{1}{2}. Dá para resolver também usando exponencial complexa e^{-x}\cos x=\Re\{e^{-(1-i)x}\}, mas a técnica por partes é suficiente e usa apenas cálculo elemental.

Resposta

Converge absolutamente e \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos(x)\,dx=\tfrac{1}{2}.

Exercícios relacionados