4. (Peso 2,0) Calcule a integral inprópria abaixo, indicando se ela converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a integral imprópria
e indicar se ela converge ou diverge. As informações do enunciado são:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, logo a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. - A função
é contínua em (pois é produto de funções contínuas). - Está implícito que é preciso decidir sobre convergência e também encontrar o valor numérico da integral, se ela convergir.
Passo 2
Vou primeiro discutir a convergência (de forma didática). Uma forma simples de testar é ver se a integral converge absolutamente. Lembrando:
- Uma integral
converge absolutamente se converge. - Se converge absolutamente então converge (convergência forte).
Aqui usamos a desigualdade
para obter
Como a função
tem integral finita no semi-eixo positivo, ou seja
pela comparação temos que
Portanto a integral dada converge absolutamente e, em particular, converge.
Passo 3
Agora vou calcular o valor da integral. Escolho a técnica de integração por partes (método básico e direto). Vou primeiro obter uma primitiva genérica por partes e depois avaliar o limite.
A fórmula de integração por partes é: para funções
e
diferenciáveis,
Vou aplicar duas integrações por partes em sequência.
Defina a primitiva incompleta
Primeira integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula,
ou seja
Chame a integral à direita de
Passo 4
Calcule
por integração por partes novamente. Agora escolha
e
. Então
e
. Assim
ou seja
Note que a última integral é exatamente
. Portanto
Passo 5
Volte para a expressão de
do Passo 3 e substitua
:
Desenvolvendo,
Agrupando os termos com
,
Logo uma primitiva é
onde
é constante de integração. Esta expressão pode ser verificada diferenciando (opcional).
Passo 6
Agora calcule a integral imprópria definida. Seja
o valor pedido:
Pela primitiva encontrada,
Avalie os extremos:
- Para
, o termo é . Como e são limitados em módulo por , esse termo tende a quando , pois . - Para
, .
Portanto
Passo 7
Resumo e comentário final curto: a integral converge absolutamente (pela comparação com
) e o valor calculado por integração por partes é
. Dá para resolver também usando exponencial complexa
, mas a técnica por partes é suficiente e usa apenas cálculo elemental.
Resposta
Converge absolutamente e
.