Questão
: Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga os pontos
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e os pontos inicial e final e pede o trabalho realizado ao mover uma partícula ao longo de uma curva arbitrária
que liga os pontos. Informações fornecidas:
- Campo vetorial:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
- Pedido: determinar o trabalho realizado por
ao mover a partícula ao longo de qualquer curva que vá de a .
Passo 2
O que significa “trabalho” aqui e qual fórmula vamos aplicar? Para um campo vetorial
e uma curva orientada
com vetor posição
, o trabalho é a integral de linha
Uma ideia muito útil (que simplifica tudo) é: se
for um campo conservativo (isto é, existir uma função potencial
tal que
), então a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e vale a diferença de potenciais:
Então nosso plano: (1) verificar se
é conservativo; (2) se for, encontrar uma potencial
; (3) calcular
. Agora vou explicar como testar conservatividade.
Passo 3
Teste de conservatividade via rotacional (curl). Para um campo suficientemente suave num domínio simplesmente conexo (como
),
é conservativo se e somente se
.
Calculemos
. Escrevendo componentes
o rotacional tem componentes
Agora as derivadas (todas bem simples):
Portanto cada componente do rotacional é zero:
Como o campo é definido e suave em todo
(que é simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo e existe potencial
com
. Isso significa que o trabalho independe do caminho.
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
Procedimento padrão (integrar uma componente e ajustar com funções de integração):
- Integramos
em relação a , tratando como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
- Diferenciamos essa expressão em relação a
e igualamos a para determinar :
Deve valer
. Comparando, obtemos
Logo
não depende de
; escrevemos
.
- Agora usamos a condição para a derivada em
:
Integramos para achar
:
onde
é constante real. Assim uma potencial conveniente é
Podemos tomar
sem perda de generalidade (constante global de potencial não altera diferenças), então
Passo 5
Como
é conservativo, o trabalho entre
e
é a diferença de potenciais:
Calculemos os valores:
Portanto
Passo 6
Interpretação curta e incentivo: a surpresa boa é que, apesar de a curva poder ser qualquer
ligando os pontos, o trabalho vale sempre
porque o campo é conservativo. Isso costuma aparecer frequentemente em provas: verificar o rotacional é um atalho poderoso — salva tempo quando o campo é conservativo.
Resposta
1