Questão 1(\mathbf{2 , 0}) : Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=(\operatorname{sen}(y) \cos (x), \operatorname{sen}(x) \cos (y), 1)
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária C que liga os pontos P_{1}=(1,0,0) ao ponto P_{2}=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e os pontos inicial e final e pede o trabalho realizado ao mover uma partícula ao longo de uma curva arbitrária C que liga os pontos. Informações fornecidas:
  • Campo vetorial:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(\sin(y)\cos(x),\;\sin(x)\cos(y),\;1\bigr).
  • Ponto inicial:
P_{1}=(1,0,0).
  • Ponto final:
P_{2}=(0,1,1).
  • Pedido: determinar o trabalho realizado por \vec{F} ao mover a partícula ao longo de qualquer curva C que vá de P_{1} a P_{2}.

Passo 2

O que significa “trabalho” aqui e qual fórmula vamos aplicar? Para um campo vetorial \vec{F} e uma curva orientada C com vetor posição \vec{r}(t), o trabalho é a integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Uma ideia muito útil (que simplifica tudo) é: se \vec{F} for um campo conservativo (isto é, existir uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}), então a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e vale a diferença de potenciais:
W=\varphi(P_{2})-\varphi(P_{1}).
Então nosso plano: (1) verificar se \vec{F} é conservativo; (2) se for, encontrar uma potencial \varphi; (3) calcular \varphi(P_{2})-\varphi(P_{1}). Agora vou explicar como testar conservatividade.

Passo 3

Teste de conservatividade via rotacional (curl). Para um campo suficientemente suave num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^{3}), \vec{F} é conservativo se e somente se \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
Calculemos \nabla\times\vec{F}. Escrevendo componentes
F_{1}=\sin(y)\cos(x),\qquad F_{2}=\sin(x)\cos(y),\qquad F_{3}=1,
o rotacional tem componentes
(\nabla\times\vec{F})_{1}=\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},
(\nabla\times\vec{F})_{2}=\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},
(\nabla\times\vec{F})_{3}=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}.
Agora as derivadas (todas bem simples):
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=0,
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=0,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\cos(x)\cos(y),\qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\cos(y)\cos(x).
Portanto cada componente do rotacional é zero:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
Como o campo é definido e suave em todo \mathbb{R}^{3} (que é simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativo e existe potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}. Isso significa que o trabalho independe do caminho.

Passo 4

Agora vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_{1}=\sin(y)\cos(x),
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_{2}=\sin(x)\cos(y),
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=F_{3}=1.
Procedimento padrão (integrar uma componente e ajustar com funções de integração):
  1. Integramos \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=\sin(y)\cos(x) em relação a x, tratando y,z como constantes:
\varphi(x,y,z)=\sin(y)\int \cos(x)\,dx=\sin(y)\sin(x)+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
  1. Diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a F_{2} para determinar g:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\cos(y)\sin(x)+\frac{\partial g}{\partial y}.
Deve valer \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=F_{2}=\sin(x)\cos(y). Comparando, obtemos
\cos(y)\sin(x)+\frac{\partial g}{\partial y}=\sin(x)\cos(y)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Logo g não depende de y; escrevemos g(y,z)=h(z).
  1. Agora usamos a condição para a derivada em z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=h'(z)=F_{3}=1.
Integramos para achar h:
h'(z)=1\quad\Rightarrow\quad h(z)=z+C,
onde C é constante real. Assim uma potencial conveniente é
\varphi(x,y,z)=\sin(x)\sin(y)+z+C.
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade (constante global de potencial não altera diferenças), então
\varphi(x,y,z)=\sin(x)\sin(y)+z.

Passo 5

Como \vec{F} é conservativo, o trabalho entre P_{1} e P_{2} é a diferença de potenciais:
W=\varphi(P_{2})-\varphi(P_{1}).
Calculemos os valores:
\varphi(P_{2})=\varphi(0,1,1)=\sin(0)\sin(1)+1=0+1=1,
\varphi(P_{1})=\varphi(1,0,0)=\sin(1)\sin(0)+0=0+0=0.
Portanto
W=1-0=1.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: a surpresa boa é que, apesar de a curva poder ser qualquer C ligando os pontos, o trabalho vale sempre 1 porque o campo é conservativo. Isso costuma aparecer frequentemente em provas: verificar o rotacional é um atalho poderoso — salva tempo quando o campo é conservativo.

Resposta

1

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