(Peso 2,0) Seja a funçāo
f(t)= \begin{cases}c^{\prime}, & t<-1 \\\\ 2, & -1 \leq t<1, \\\ \frac{1}{1+t^{2}}, & t \geq 1,\end{cases}
e considere
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t
(a) Determine F(x) explicitamente, distinguindo os casos x<-1,-1 \leq x<1 e x \geq 1.
(b) Estude a continuidade a difenciabilidade de F(x) nos pontos de junchān x-1 e x=1.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função f\) é dada por partes: \[f(t)= \begin{cases}c^{\prime}, & t<-1, \\[4pt] 2, & -1 \leq t<1, \\[4pt] \dfrac{1}{1+t^{2}}, & t \geq 1.\end{cases}
  • Define-se a função acumulada
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar explicitamente F(x)\] distinguindo os três intervalos \(x<-1, -1\le x<1 e x\ge 1.
(b) Estudar a continuidade e a diferenciabilidade de F nos pontos de junção x=-1 e x=1.]

Passo 2

Primeira observação importante: para que F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt seja um número finito para algum (e portanto para todo) x, a integral impropria \int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt precisa convergir. Avaliando essa parte da integral usamos o valor de f(t) em t<-1, que é a constante c^{\prime}. Então
\int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt=\int_{-\infty}^{-1} c^{\prime}\,dt.
Se c^{\prime}\neq 0 essa integral vale c^{\prime}\cdot\infty (diverge), porque integrar uma constante não-nula numa metade infinita gera divergência. Logo, a única maneira de obter F(x) finita é ter
c^{\prime}=0.
Portanto assumimos e concluímos que c^{\prime}=0. (Se c^{\prime}\neq 0 não há como definir F(x) finita; o problema só faz sentido com c^{\prime}=0.)

Passo 3

Agora calculamos F(x) quando x<-1.
Para x<-1 a integral vai de -\infty até um ponto anterior a -1, e em todo esse intervalo f(t)=c^{\prime}=0. Assim
F(x)=\int_{-\infty}^{x} 0\,dt = 0\qquad\text{para }x<-1.
Interpretação: antes de -1 não há área acumulada porque a função vale zero ali.

Passo 4

Calculamos F(x) para -1\le x<1.
Escrevemos a integral como soma em dois trechos:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt + \int_{-1}^{x} f(t)\,dt.
Pegamos da imagem (do enunciado) que f(t)=0 em (-\infty,-1) (ou seja, usamos a conclusão c^{\prime}=0) e f(t)=2 em [-1,1). Então
\int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt = 0
e
\int_{-1}^{x} f(t)\,dt = \int_{-1}^{x} 2\,dt = 2\bigl(x-(-1)\bigr)=2(x+1).
Portanto
F(x)=2(x+1)\qquad\text{para }-1\le x<1.

Passo 5

Calculamos F(x) para x\ge 1.
Novamente escrevemos a integral como soma de três trechos:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt + \int_{-1}^{1} f(t)\,dt + \int_{1}^{x} f(t)\,dt.
Usando c^{\prime}=0 no primeiro trecho e f(t)=2 em [-1,1) (em particular no intervalo [-1,1] menos um ponto de medida zero), temos
\int_{-\infty}^{-1} f(t)\,dt = 0, \qquad \int_{-1}^{1} f(t)\,dt = \int_{-1}^{1} 2\,dt = 2\cdot(1-(-1))=4.
No trecho t\ge 1 a função é f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. A primitiva conhecida é \arctan(t), porque
\frac{d}{dt}\bigl(\arctan t\bigr)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Logo
\int_{1}^{x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \arctan(x)-\arctan(1).
Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}. Portanto
\int_{1}^{x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \arctan(x)-\frac{\pi}{4}.
Somando os três trechos:
F(x)=0+4+\bigl(\arctan(x)-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=4-\tfrac{\pi}{4}+\arctan(x)\qquad\text{para }x\ge 1.

Passo 6

Resumo das fórmulas encontradas para [F(x)) (plantando tudo junto):
F(x)=\begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] 2(x+1), & -1\le x<1,\\[6pt] 4-\dfrac{\pi}{4}+\arctan(x), & x\ge 1. \end{cases}
Verificação rápida nos pontos de junção:
  • Em x=-1\], a segunda fórmula dá \(2(-1+1)=0, que coincide com o valor da primeira fórmula 0.
  • Em x=1, a segunda fórmula (limite pela esquerda) dá 2(1+1)=4. A terceira fórmula em x=1 4-\dfrac{\pi}{4}+\arctan(1)=4-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=4. Logo há continuidade nos dois pontos.]

Passo 7

Análise da continuidade de F em x=-1 e x=1.
  • Continuidade em x=-1: o limite pela esquerda é F(-1^-)=0 (já que para x<-1 temos F(x)=0). O valor F(-1) calculado pela fórmula do segmento [-1,1) é F(-1)=2(-1+1)=0. O limite pela direita F(-1^+)=\lim_{x\downarrow-1}2(x+1)=0. Todos coincidem, logo F é contínua em x=-1.
  • Continuidade em x=1: o limite pela esquerda é F(1^-)=2(1+1)=4. O valor F(1) pela fórmula do segmento x\ge 1 é F(1)=4-\dfrac{\pi}{4}+\arctan(1)=4. O limite pela direita coincide com esse valor. Logo F é contínua em x=1.
Comentário teórico (didático): uma função definida por integral com limite inferior fixo (aqui -\infty, mas já regularizado com c'=0) produz uma função F contínua sempre que a integral impropria for convergente e o integrando seja integrável localmente; por isso a continuidade nos pontos de junção é esperada.

Passo 8

Análise da diferenciabilidade de F em x=-1 e x=1.
Fórmula útil (Teorema fundamental do cálculo, versão para integrais com variável superior): se f é contínua num ponto x_{0} então a derivada
F'(x_{0})=\frac{d}{dx}\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
existe e vale f(x_{0}). Se f tem uma descontinuidade em x_{0} (por exemplo salto), então F' normalmente não existe em x_{0} porque as derivadas laterais dão os valores das duas margens do salto.
Calculemos as derivadas laterais em cada ponto usando as expressões explícitas de F:
  • Em (- \infty,-1) temos F(x)=0 então F'(x)=0 ali. Assim o limite da derivada ao se aproximar de -1 pela esquerda é 0.
  • Em (-1,1) temos F(x)=2(x+1), que tem derivada F'(x)=2 nesse intervalo. Assim a derivada lateral pela direita em -1 é 2.
Portanto em x=-1 as derivadas laterais são distintas:
F'(-1^-)=0,\qquad F'(-1^+)=2,
logo F' não existe em x=-1. Isso bate com o fato de f ter salto em -1 (valores à esquerda f(-1^-)=0 e à direita f(-1^+)=2).
  • Em ( -1,1) a derivada é 2. Em (1,\infty) usamos F(x)=4-\dfrac{\pi}{4}+\arctan(x), cuja derivada é
F'(x)=\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
No ponto x=1 as derivadas laterais são então
F'(1^-)=2,\qquad F'(1^+)=\frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}.
Como são diferentes, F' não existe em x=1. Isso também corresponde ao salto de f em 1 (valores f(1^-)=2 e f(1^+)=\tfrac{1}{2}).
Conclusão: F é contínua em x=-1 e em x=1, mas não é diferenciável nesses pontos; fora desses pontos F' existe e coincide com f.

Resposta

(a) É necessário ter c^{\prime}=0\). Com isso, \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<-1,\\[4pt] 2(x+1), & -1\le x<1,\\[6pt] 4-\dfrac{\pi}{4}+\arctan(x), & x\ge 1. \end{cases}
(b) F\] é contínua em \(x=-1 e em x=1; porém F não é diferenciável em x=-1 nem em x=1 (as derivadas laterais em -1 são 0 e 2, e em 1 são 2 e \tfrac{1}{2}).]

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