Um peso de chumbo com 0,40 cm^3 de volume e densidade de 11,4 g / cm^3 é usado para pescar. O peso é suspenso por um fio vertical cuja extremidade oposta à do peso está presa a uma esfera de cortiça (densidade 0,20 g / cm^3 ) que está flutuando sobre a superf’icie de um lago. Desprezando os efeitos da linha, do anzol e da isca, determine qual deve ser o raio da cortiça para que ela flutue com metade de seu volume submersa.
a) 1,38 cm
b) 1,49 cm
c) 5,12 cm
d) 1,25 cm
e) 2,12 cm

Passo 1

O enunciado dá um peso de chumbo de volume Vp=0,40 cm³ e densidade rhop=11,4 g/cm³, pendurado num fio cuja outra extremidade prende uma esfera de cortiça de densidade rhoc=0,20 g/cm³ que flutua com metade do volume submerso. Vamos usar:
  • Para cada corpo em equilíbrio estático na água, a soma das forças verticais é zero.
  • A força de empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado (princípio de Arquimedes).
  • No chumbo há empuxo e peso; no fio aparece tensão; na cortiça há empuxo, peso próprio e tensão do fio.

Passo 2

Equilíbrio do chumbo: atuam para cima a tensão T e para cima o empuxo Ep, e para baixo o peso mp g. Como está parado,
T + Ep = mp g
Mas mp=rhop Vp e Ep=rhow Vp g, com rhow=1,0 g/cm³. Logo
T = mp g - Ep = (rhop Vp - rhow Vp),g = (rhop - rhow),Vp,g

Passo 3

Equilíbrio da cortiça: atuam para cima o empuxo Ec e para baixo o peso da cortiça mc g e a tensão T (puxando pra baixo). Assim
Ec = mc g + T
Aqui mc=rhoc Vc e como metade do volume Vc está submersa,
Ec = rhowl(Vc2r)g

Passo 4

Substituindo tudo em
rhowVc2,g = rhoc Vc,g + (rhop - rhow),Vp,g,
podemos cancelar g e resolver para Vc:
rhowVc2 = rhoc Vc + (rhop - rhow)Vp Longrightarrow Vc = (rhop - rhow),Vprhow2 - rhoc

Passo 5

Agora numérico: rhow=1,0, rhop=11,4, rhoc=0,20, Vp=0,40.
Numerador:
,(rhop-rhow)Vp = (11,4 - 1,0)times 0,40 = 10,4times 0,40 = 4,16
Denominador:
rhow2-rhoc = 0,50 - 0,20 = 0,30
Logo
Vc = 4,160,30 approx 13,87;cm^3

Passo 6

Como a cortiça é esfera,
Vc = 43,pi,R^3 Longrightarrow R^3 = 3,Vc4pi approx 3times 13,874pi approx 3,3128,
portanto
R approx raiz[3]3,3128 approx 1,49;cm

Resposta

(b) 1,49 cm.

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