6.6 O peso especifico úmido in situ de um solo é 17,3 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} e o teor de umidade é de 16 \%. O peso especifico relativo dos sólidos do solo é de 2,72 . Esse solo tem de ser escavado e transportado para o canteiro de obras a fim de ser usado em um aterro compactado. Se a especificação designa o solo a ser compactado a um peso específico seco minimo de 18,1 \mathrm{k} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{3} no mesmo teor de umidade de 16 \%, quantos metros cúbicos de solo do local de escavação são necessários para produzir 2.000 \mathrm{~m}^{3} de preenchimento compactado? Quantos caminhões com carga de 20 toneladas são necessários para transportar o solo escavado?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dados:
  • Peso específico úmido in situ: \gamma_{t,\text{in situ}} = 17,3\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.
  • Teor de umidade: w = 16\% = 0{,}16.
  • Peso específico relativo dos sólidos: G_s = 2{,}72. (Aqui o dado é fornecido, mas não será necessário explicitamente para os cálculos que vamos fazer.)
  • Especificação do aterro: peso específico seco mínimo a ser atingido em obra \gamma_{d,\text{comp}} = 18{,}1\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3} no mesmo teor de umidade w=0{,}16.
  • Volume de preenchimento compactado desejado: V_{\text{comp}} = 2000\\ \mathrm{m}^{3}.
Perguntas:
  1. Quantos metros cúbicos de solo do local de escavação são necessários (volume in situ) para obter 2000\\ \mathrm{m}^{3} de preenchimento compactado?
  2. Quantos caminhões de 20 toneladas são necessários para transportar o solo escavado?

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicação didática):
  • Teor de umidade w é definido como a razão entre a massa (ou peso) da água e a massa (ou peso) dos sólidos:
w = \frac{W_{\text{água}}}{W_{\text{sólidos}}}.áó
  • Peso específico seco \gamma_d é o peso dos sólidos (mais água ligada? não: é o peso seco total) por unidade de volume do solo total:
\gamma_d = \frac{W_{\text{seco}}}{V_{\text{total}}}.
  • Peso específico úmido \gamma_t é o peso total (sólidos + água) por unidade de volume:
\gamma_t = \frac{W_{\text{seco}} + W_{\text{água}}}{V_{\text{total}}}.á
Como W_{\text{água}} = w \, W_{\text{seco}}á, temos a relação básica que usaremos:
\gamma_t = \gamma_d\,(1+w).
Essa relação é muito útil: conhecendo \gamma_t e w podemos encontrar \gamma_d e vice-versa.
  • Conservação dos sólidos (ou do peso seco): ao escavar e depois compactar, a massa (peso) das partículas sólidas que entra no aterro é a mesma que foi retirada do local (desconsiderando perdas). Portanto, o peso seco total do aterro compactado é igual ao peso seco do volume escavado. Em fórmulas:
\gamma_{d,\text{comp}} \, V_{\text{comp}} \;=\; \gamma_{d,\text{in situ}} \, V_{\text{esc}}.
Dessa equação isolamos o volume escavado V_{\text{esc}}.

Passo 3

Calcular o peso específico seco in situ \gamma_{d,\text{in situ}} usando \gamma_{t,\text{in situ}} = \gamma_{d,\text{in situ}}(1+w).
Escrevendo e substituindo:
\gamma_{d,\text{in situ}} = \frac{\gamma_{t,\text{in situ}}}{1+w} = \frac{17{,}3}{1+0{,}16}.
Calculemos:
\gamma_{d,\text{in situ}} = \frac{17{,}3}{1{,}16} \approx 14{,}8965517\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Usar conservação do peso seco para achar o volume escavado V_{\text{esc}}. A equação é:
V_{\text{esc}} = \frac{\gamma_{d,\text{comp}} \, V_{\text{comp}}}{\gamma_{d,\text{in situ}}}.
Substituindo os valores:
V_{\text{esc}} = \frac{18{,}1 \times 2000}{14{,}8965517}.
Calculemos passo a passo:
18{,}1 \times 2000 = 36\,200.
V_{\text{esc}} = \frac{36\,200}{14{,}8965517} \approx 2\,429{,}6\\ \mathrm{m}^{3}.
Portanto, é necessário escavar aproximadamente 2\,430\\ \mathrm{m}^{3} do local (arredondando para três algarismos significativos).

Passo 5

Agora calcular quantos caminhões de carga 20 toneladas são necessários. Podemos fazer isso usando pesos (kN) para ficar coerente com as unidades dadas.
  1. Peso total do solo escavado (peso úmido):
W_{\text{total}} = \gamma_{t,\text{in situ}} \, V_{\text{esc}} = 17{,}3 \times 2\,429{,}6 \\ \mathrm{kN}.
Calcule:
W_{\text{total}} \approx 17{,}3 \times 2\,429{,}6 \approx 42\,012\\ \mathrm{kN}.
  1. Capacidade de um caminhão de 20 toneladas em termos de peso (kN):
20\\ \text{t} = 20\,000\\ \mathrm{kg} \quad\Rightarrow\quad W_{\text{caminhão}} = 20\,000\\ \mathrm{kg} \times 9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2 = 196{,}2\\ \mathrm{kN}.ã
  1. Número de caminhões (teoricamente):
N = \frac{W_{\text{total}}}{W_{\text{caminhão}}} = \frac{42\,012}{196{,}2} \approx 214{,}2.ã
Como não podemos ter uma fração de viagem, arredondamos para cima:
N = 215\\ \text{caminhões (viagens)}.õ
Observação: alternativamente poderíamos ter convertido tudo em massa (kg) dividindo por 9{,}81 e obtendo o mesmo resultado; aqui usamos kN para ser direto com as unidades fornecidas.

Passo 6

Resumo e decisão de arredondamento:
  • Volume escavado calculado com precisão: 2\,429{,}6\\ \mathrm{m}^{3}. Em prática de obra costuma-se arredondar para 2\,430\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Número de caminhões: 214{,}2 → arredondar para cima para garantir transporte inteiro → 215 caminhões.

Resposta

2\,429{,}6\\ \mathrm{m}^{3} (aprox. 2\,430\\ \mathrm{m}^{3})
215 caminhões

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