Um teste de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida indica uma nota que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de que tal nota
Entre 90 e 110?
Entre 90 e 110?
Passo 1
O enunciado dá uma nota de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média
e desvio padrão
. A pergunta é: qual é a probabilidade da nota estar entre
e
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável aleatória (nota) tem distribuição normal com média
e desvio padrão . - Queremos calcular
.
Passo 2
O que significa que
é normal com média
e desvio padrão
?
- Dizemos
. Aqui é o valor em torno do qual os valores de se concentram (a média) e mede a dispersão (quanto os valores se espalham). - Para calcular probabilidades com a normal, é prático transformar
em uma variável normal padrão com média e desvio padrão . Isso se chama padronização.
Passo 3
A fórmula de padronização é:
onde:
-
é a variável original, -
é a média, -
é o desvio padrão, -
tem distribuição .
Padronizar converte uma pergunta sobre
em uma pergunta sobre
, para a qual usamos a tabela da normal padrão ou uma calculadora.
Passo 4
Vamos padronizar os dois limites
e
.
Para o limite superior
:
Para o limite inferior
:
Passo 5
A probabilidade pedida vira:
Usando a função de distribuição acumulada da normal padrão
, temos:
Passo 6
A função
é simétrica em torno de zero para a normal padrão, então
. Assim:
Isso reduz o problema a encontrar
.
Passo 7
Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora):
Queremos
, ou seja
. Podemos interpolar entre
e
. A diferença entre as duas entradas é
. O ponto
está a
de
, isto é, cerca de
do caminho até
. Fazendo a interpolação:
Passo 8
Agora calcule a probabilidade:
Em percentual, isso é aproximadamente
.
Passo 9
Interpretação intuitiva: como
e
estão a
pontos da média
, e um desvio padrão é
, esses limites correspondem a cerca de
desvios padrão. A probabilidade de cair dentro de
é um pouco menor que
, por isso o valor cerca de
. Força — esse tipo de padronização cai direto na prova e é rápido quando memorizas que padronizar = subtrair média e dividir por desvio padrão!