Um teste de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida indica uma nota que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de que tal nota
Entre 90 e 110?

Passo 1

O enunciado dá uma nota de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15. A pergunta é: qual é a probabilidade da nota estar entre 90 e 110?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável aleatória (nota) tem distribuição normal com média \mu = 100 e desvio padrão \sigma = 15.
  • Queremos calcular \mathbb{P}(90 \le X \le 110).

Passo 2

O que significa que X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma?
  • Dizemos X \sim N(\mu,\sigma^2). Aqui \mu é o valor em torno do qual os valores de X se concentram (a média) e \sigma mede a dispersão (quanto os valores se espalham).
  • Para calcular probabilidades com a normal, é prático transformar X em uma variável normal padrão Z com média 0 e desvio padrão 1. Isso se chama padronização.

Passo 3

A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original,
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z tem distribuição N(0,1).
Padronizar converte uma pergunta sobre X em uma pergunta sobre Z, para a qual usamos a tabela da normal padrão ou uma calculadora.

Passo 4

Vamos padronizar os dois limites 90 e 110.
Para o limite superior 110:
z_{\text{superior}}=\frac{110-100}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\approx 0,666\ldots
Para o limite inferior 90:
z_{\text{inferior}}=\frac{90-100}{15}=\frac{-10}{15}=-\frac{2}{3}\approx -0,666\ldots

Passo 5

A probabilidade pedida vira:
\mathbb{P}(90\le X\le110)=\mathbb{P}\!\left(-\tfrac{2}{3}\le Z\le\tfrac{2}{3}\right).
Usando a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z), temos:
\mathbb{P}\!\left(-\tfrac{2}{3}\le Z\le\tfrac{2}{3}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{2}{3}\right).

Passo 6

A função \Phi é simétrica em torno de zero para a normal padrão, então \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim:
\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-\bigl(1-\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\bigr)=2\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-1.
Isso reduz o problema a encontrar \Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right).

Passo 7

Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora):
  • \Phi(0,66)=0,7454
  • \Phi(0,67)=0,7480
Queremos \Phi(0,666\ldots), ou seja \Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Podemos interpolar entre 0,66 e 0,67. A diferença entre as duas entradas é 0,7480-0,7454=0,0026. O ponto 0,666\ldots está a 0,006\overline{6} de 0,66, isto é, cerca de 2/3 do caminho até 0,67. Fazendo a interpolação:
\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 0,7454 + \tfrac{2}{3}\cdot 0,0026 \approx 0,7454 + 0,001733 \approx 0,74713.

Passo 8

Agora calcule a probabilidade:
\mathbb{P}(90\le X\le110)=2\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-1 \approx 2\cdot 0,74713 -1 =0,49426\approx 0,4943.
Em percentual, isso é aproximadamente 49{,}43\%.

Passo 9

Interpretação intuitiva: como 90 e 110 estão a 10 pontos da média 100, e um desvio padrão é 15, esses limites correspondem a cerca de \pm0{,}67 desvios padrão. A probabilidade de cair dentro de \pm0{,}67\sigma é um pouco menor que 50\%, por isso o valor cerca de 49{,}4\%. Força — esse tipo de padronização cai direto na prova e é rápido quando memorizas que padronizar = subtrair média e dividir por desvio padrão!

Resposta

0,4943 \approx 49{,}43\%

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