Se deseja conhecer a permanência de pacientes de um determinado hospital, com a finalidade de uma possível ampliação. Se tem dados de 600 pacientes, de permanência, obtendo-se \bar{x}=12,3 dias, s=8 dias. Encontrar um IC de 95 \% de confiança para a permanência média.
\text { R. } I C(\mu, 95 \%)=[11,6599 ; 12,9401] .

Passo 1

O enunciado fornece os dados de uma amostra de 600 pacientes e pede um intervalo de confiança de 95\% para a permanência média. Informações dadas:
  • Tamanho da amostra: n=600.
  • Média amostral: \bar{x}=12,3 dias.
  • Desvio padrão amostral: s=8 dias.
    O que se pede: encontrar o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu.

Passo 2

O que é um intervalo de confiança (IC) e qual fórmula usar.
  • Um IC de nível 95\% para a média é um intervalo em torno da média amostral que, em repetidas amostras, conteria a média verdadeira \mu em 95\% das vezes.
  • Quando a variância populacional é desconhecida mas a amostra é grande ( n grande), é comum usar a aproximação pelo normal. A fórmula que vamos usar é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral ( 12,3 dias);
  • s é o desvio padrão amostral ( 8 dias);
  • n é o tamanho da amostra ( 600);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (explico abaixo);
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (uma medida da variabilidade da média amostral).

Passo 3

Por que usar z e não t.
  • O desvio populacional \sigma não foi dado, então, em princípio, usaríamos a distribuição t. Porém, para amostras grandes ( n\ge 30 como regra prática), a distribuição t é muito próxima da normal padrão e é usual usar z.
  • Aqui n=600 é bem grande, então usamos z. Para 95\% de confiança, o valor crítico é
z_{\alpha/2}=1{,}96,
que é o quantil tal que P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95 quando Z é normal padrão.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média \dfrac{s}{\sqrt{n}}.
  • Primeiro calcula-se \sqrt{n}:
\sqrt{600}=10\sqrt{6}\approx 24{,}4948974278.
  • Então o erro padrão é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{600}}\approx \frac{8}{24{,}4948974278}\approx 0{,}3265986324.
Explicação curta: o erro padrão mede quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra; quanto maior n, menor esse erro.

Passo 5

Calcular a margem de erro ME = z_{\alpha/2}\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
ME = 1{,}96 \times 0{,}3265986324 \approx 0{,}6399333079.
Interpretação: a média amostral 12{,}3 será acrescida e diminuída desse valor para obter o IC.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo de confiança.
  • Limite inferior:
\bar{x}-ME = 12{,}3 - 0{,}6399333079 \approx 11{,}6600666921.
  • Limite superior:
\bar{x}+ME = 12{,}3 + 0{,}6399333079 \approx 12{,}9399333079.
Arredondando com quatro casas decimais (como no enunciado), obtemos [11{,}6599 ; 12{,}9401]. Pequenas diferenças de arredondamento são normais dependendo da regra de arredondamento usada.

Passo 7

Interpretação final e condições.
  • O intervalo de confiança de 95\% diz que, com o procedimento adotado, temos 95\% de confiança de que a verdadeira permanência média \mu está entre os limites calculados.
  • Pressupostos necessários: amostra aleatória representativa da população de pacientes; como n é grande, não é estritamente necessário que a distribuição original seja normal (vale o Teorema do Limite Central).

Resposta

[11,6599 ; 12,9401]

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