Uma pesquisa eleitoral será realizada em uma cidade com 1000000 de habitantes. Calcule o tamanho da amostra de modo que o erro relativo seja no máximo 5 \%.

Passo 1

O enunciado quer determinar o tamanho n de uma amostra de uma população finita de N=1\,000\,000 habitantes, de modo que a estimativa da proporção p de eleitores tenha erro relativo máximo de 5\% com confiança de 95\%. Para isso, vamos usar a aproximação normal da proporção amostral e a definição de erro relativo.

Passo 2

A estimativa da proporção \hat p tem desvio-padrão aproximado dado por
\mathrm{sd}(\hat p) =\sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}}.
Num nível de confiança de 95\%, o multiplicador é z=1,96, de modo que a margem de erro absoluta seja
E =1{,}96\;\sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}}.

Passo 3

O erro relativo máximo de 5\% significa
\frac{E}{p}\le0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad E\le0{,}05\,p.

Passo 4

Substituindo E temos
1{,}96\;\sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}}\;\le\;0{,}05\,p \quad\Longrightarrow\quad n\ge\frac{1{,}96^2\,(1-p)}{(0{,}05\,p)^2}.

Passo 5

Para garantir o pior caso (maior variância), tomamos p=0{,}5. Então
n\ge\frac{1{,}96^2\,(1-0{,}5)}{(0{,}05\cdot0{,}5)^2} =\frac{3{,}8416\cdot0{,}5}{(0{,}025)^2} =\frac{1{,}9208}{0{,}000625} \approx1536{,}64.
Arredondando para cima, obtemos n_0=1537.

Passo 6

Como n_0\ll N, a correção para população finita
n =\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0}{N}}
é praticamente desprezível:
n\approx\frac{1537}{1+1537/10^6}\approx1535.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra é de aproximadamente 1537 eleitores.

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